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大阪大学 2004年理系第1問解説

方針・初手

(1) は、複素数の絶対値の2乗の評価である。複素数 $z_k$ を実部と虚部に分ける成分表示、または極形式を用いて展開することで、交差項（$z_j \bar{z}_k + \bar{z}_j z_k$ または $x_j x_k, y_j y_k$）が $0$ 以上になることを示す。

(2) は典型的な誘導問題であり、(1) の不等式を活用する。条件式に $\cos\theta_k$ と $\sin\theta_k$ が現れることから、絶対値が $1$ で偏角が $\theta_k$ であるような複素数 $z_k$ を自ら設定し、(1) に代入するという方針をとる。

解法1

(1)

複素数 $z_k$ を実部と虚部に分けて、以下のように表す。

$$ z_k = x_k + i y_k \quad (x_k, y_k \text{ は実数}) $$

$\arg z_k$ は複素数 $z_k$ の偏角を表す。条件 $0 \leqq \arg z_k \leqq \frac{\pi}{2}$ より、すべての $k = 1, 2, \cdots, n$ について、複素数平面上で $z_k$ は第1象限（境界を含む）に存在する。したがって、次が成り立つ。

$$ x_k \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad y_k \geqq 0 $$

ここで、示すべき不等式の右辺を展開して評価する。

$$ \begin{aligned} |z_1 + z_2 + \cdots + z_n|^2 &= \left| \sum_{k=1}^n (x_k + i y_k) \right|^2 \\ &= \left( \sum_{k=1}^n x_k \right)^2 + \left( \sum_{k=1}^n y_k \right)^2 \\ &= \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 + 2 \sum_{1 \leqq j < k \leqq n} x_j x_k \right) + \left( \sum_{k=1}^n y_k^2 + 2 \sum_{1 \leqq j < k \leqq n} y_j y_k \right) \end{aligned} $$

条件より $x_k \geqq 0, y_k \geqq 0$ であるから、任意の $j, k$ について $x_j x_k \geqq 0$ および $y_j y_k \geqq 0$ が成り立つ。これを用いると、次のように不等式で評価できる。

$$ \begin{aligned} |z_1 + z_2 + \cdots + z_n|^2 &\geqq \sum_{k=1}^n x_k^2 + \sum_{k=1}^n y_k^2 \\ &= \sum_{k=1}^n (x_k^2 + y_k^2) \\ &= \sum_{k=1}^n |z_k|^2 \end{aligned} $$

よって、与えられた不等式が成り立つことが示された。

(2)

実数 $\theta_k$ に対して、次のような複素数 $z_k$ を定める。

$$ z_k = \cos\theta_k + i \sin\theta_k \quad (k=1, 2, \cdots, n) $$

条件 $0 \leqq \theta_k \leqq \frac{\pi}{2}$ より、偏角について $0 \leqq \arg z_k \leqq \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。また、それぞれの絶対値は $|z_k| = 1$ である。

したがって、これら $n$ 個の複素数 $z_k$ に対して (1) の不等式を適用することができる。

$$ \sum_{k=1}^n |z_k|^2 \leqq \left| \sum_{k=1}^n z_k \right|^2 $$

この不等式の左辺は、次のように計算できる。

$$ \sum_{k=1}^n |z_k|^2 = \sum_{k=1}^n 1^2 = n $$

一方、右辺については、実部と虚部に整理すると次のようになる。

$$ \left| \sum_{k=1}^n (\cos\theta_k + i \sin\theta_k) \right|^2 = \left| \left( \sum_{k=1}^n \cos\theta_k \right) + i \left( \sum_{k=1}^n \sin\theta_k \right) \right|^2 $$

ここで、問題の条件 $\cos\theta_1 + \cos\theta_2 + \cdots + \cos\theta_n = 1$ を用いると、右辺はさらに次のように変形できる。

$$ \left| 1 + i \left( \sum_{k=1}^n \sin\theta_k \right) \right|^2 = 1^2 + \left( \sum_{k=1}^n \sin\theta_k \right)^2 $$

以上の左辺と右辺の計算結果を (1) の不等式に代入する。

$$ n \leqq 1 + \left( \sum_{k=1}^n \sin\theta_k \right)^2 $$

移項して整理すると、次のようになる。

$$ n - 1 \leqq \left( \sum_{k=1}^n \sin\theta_k \right)^2 $$

条件 $0 \leqq \theta_k \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\sin\theta_k \geqq 0$ であるため、その和も $0$ 以上である。

$$ \sum_{k=1}^n \sin\theta_k \geqq 0 $$

したがって、両辺の平方根をとることで次の不等式が得られ、題意が示される。

$$ \sqrt{n - 1} \leqq \sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \cdots + \sin\theta_n $$

解法2

(1) の別解

複素数 $z_k$ を極形式で表す。

$$ z_k = r_k (\cos\alpha_k + i \sin\alpha_k) \quad \left( r_k > 0, \ 0 \leqq \alpha_k \leqq \frac{\pi}{2} \right) $$

示すべき不等式の右辺を展開する。

$$ \begin{aligned} |z_1 + z_2 + \cdots + z_n|^2 &= \left( \sum_{k=1}^n z_k \right) \left( \sum_{j=1}^n \bar{z}_j \right) \\ &= \sum_{k=1}^n z_k \bar{z}_k + \sum_{1 \leqq j < k \leqq n} (z_j \bar{z}_k + \bar{z}_j z_k) \end{aligned} $$

ここで、第1項は $\sum_{k=1}^n |z_k|^2$ である。第2項のカッコの中身について調べる。

$$ \begin{aligned} z_j \bar{z}_k + \bar{z}_j z_k &= 2 \text{Re}(z_j \bar{z}_k) \\ &= 2 \text{Re} \left\{ r_j (\cos\alpha_j + i \sin\alpha_j) \cdot r_k (\cos\alpha_k - i \sin\alpha_k) \right\} \\ &= 2 r_j r_k \cos(\alpha_j - \alpha_k) \end{aligned} $$

条件 $0 \leqq \alpha_j \leqq \frac{\pi}{2}$ および $0 \leqq \alpha_k \leqq \frac{\pi}{2}$ より、偏角の差の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leqq \alpha_j - \alpha_k \leqq \frac{\pi}{2}$ となる。

この範囲においてコサインの値は $0$ 以上であるため、$\cos(\alpha_j - \alpha_k) \geqq 0$ が成り立つ。$r_j, r_k > 0$ であることと合わせると、次が言える。

$$ z_j \bar{z}_k + \bar{z}_j z_k \geqq 0 $$

したがって、展開式の第2項が $0$ 以上となるため、全体の評価として次が成り立つ。

$$ |z_1 + z_2 + \cdots + z_n|^2 \geqq \sum_{k=1}^n |z_k|^2 $$

よって示された。

解説

(1) の不等式は、ベクトルがすべて第1象限の方向を向いているとき、それらを足し合わせた「合ベクトルの長さの2乗」が、「個々のベクトルの長さの2乗の和」よりも大きくなるという図形的な事実を表している。複素数の絶対値の扱いに慣れていれば、成分表示でも極形式でも容易に証明可能である。

(2) は (1) を利用するための「置き換え」の発想がすべてである。問題文に現れる $\cos$ と $\sin$ を実部と虚部に見立てて $z_k = \cos\theta_k + i\sin\theta_k$ とおくことで、(1) の前提条件を満たす複素数列を自ら作り出せるかにかかっている。誘導問題として非常に美しく、前問を抽象化して応用する良い練習になる。