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九州大学 2004年文系第2問解説

方針・初手

複素数の絶対値や偏角を求める基本的な問題である。 (1) と (2) は、$\beta$ の定義式 $\beta = \cos\theta - 1 + i\sin\theta$ に対して、半角の公式や三角関数の性質を用いて極形式に変形することが目標となる。式変形だけでなく、複素数平面上の図形的性質を用いて解くこともできる。 (3) は (1), (2) の結果を利用して $\alpha, \beta$ を極形式で表し、ド・モアブルの定理を用いて $\alpha^m \beta^n$ の虚部を立式する。候補が $3 \times 3 = 9$ 通りしかないので、すべて計算して比較するのが確実である。

解法1

(1)

$\beta = z - 1 = (\cos\theta - 1) + i\sin\theta$ である。 $\beta$ の絶対値の2乗 $|\beta|^2$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} |\beta|^2 &= (\cos\theta - 1)^2 + \sin^2\theta \\ &= \cos^2\theta - 2\cos\theta + 1 + \sin^2\theta \\ &= 2 - 2\cos\theta \end{aligned} $$

となる。ここで半角の公式 $\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{2}$ より $1 - \cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$ であるから、

$$ |\beta|^2 = 2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) $$

となる。問題の条件より $0^\circ < \theta < 180^\circ$ であるから $0^\circ < \frac{\theta}{2} < 90^\circ$ であり、$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ である。したがって、平方根をとると、

$$ |\beta| = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) $$

となり、示された。

(2)

(1) の計算過程から、$\beta$ は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \beta &= (\cos\theta - 1) + i\sin\theta \\ &= -2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) + i \cdot 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ &= 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \left\{ -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \right\} \end{aligned} $$

ここで、一般角の三角関数の性質により、

$$ \begin{aligned} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \cos\left(\frac{\theta}{2} + 90^\circ\right) \\ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \sin\left(\frac{\theta}{2} + 90^\circ\right) \end{aligned} $$

が成り立つので、これらを代入すると、

$$ \beta = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \left\{ \cos\left(\frac{\theta}{2} + 90^\circ\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2} + 90^\circ\right) \right\} $$

となる。 (1) より $2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ であるため、これが $\beta$ の極形式の形となっている。よって、$\beta$ の偏角は、

$$ \arg\beta \equiv \frac{\theta}{2} + 90^\circ \pmod{360^\circ} $$

となる。条件 $0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $0^\circ < \frac{\theta}{2} < 90^\circ$ であるから、各辺に $90^\circ$ を足して、

$$ 90^\circ < \frac{\theta}{2} + 90^\circ < 180^\circ $$

となり、この値は条件 $0^\circ \leqq \arg\beta < 360^\circ$ の範囲に含まれる。したがって、

$$ \arg\beta = \frac{\theta}{2} + 90^\circ $$

となり、示された。

(3)

$\theta = 60^\circ$ のとき、(1), (2) の結果に代入して $\beta$ の極形式を求める。

$$ |\beta| = 2\sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$

$$ \arg\beta = \frac{60^\circ}{2} + 90^\circ = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ $$

したがって、

$$ \beta = \cos 120^\circ + i\sin 120^\circ $$

である。一方、$\alpha$ については $\theta = 60^\circ$ のとき、

$$ \begin{aligned} \alpha &= \cos 60^\circ + 1 + i\sin 60^\circ \\ &= \frac{1}{2} + 1 + i\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ &= \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) \\ &= \sqrt{3} (\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ) \end{aligned} $$

となる。これらを用いて、ド・モアブルの定理から $\alpha^m \beta^n$ を極形式で表す。

$$ \begin{aligned} \alpha^m &= (\sqrt{3})^m (\cos 30^\circ m + i\sin 30^\circ m) \\ \beta^n &= 1^n (\cos 120^\circ n + i\sin 120^\circ n) \end{aligned} $$

これらを掛け合わせると、

$$ \alpha^m \beta^n = (\sqrt{3})^m \{ \cos (30^\circ m + 120^\circ n) + i\sin (30^\circ m + 120^\circ n) \} $$

となる。したがって、複素数 $\alpha^m \beta^n$ の虚部 $I_{m,n}$ は、

$$ I_{m,n} = (\sqrt{3})^m \sin (30^\circ m + 120^\circ n) $$

である。$30^\circ m + 120^\circ n = 30^\circ(m+4n)$ であるから、$m, n \in \{1, 2, 3\}$ の 9 通りについて値を計算する。

(i) $n = 1$ のとき

$m = 1$: $I_{1,1} = \sqrt{3} \sin 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$m = 2$: $I_{2,1} = 3 \sin 180^\circ = 0$
$m = 3$: $I_{3,1} = 3\sqrt{3} \sin 210^\circ = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(ii) $n = 2$ のとき

$m = 1$: $I_{1,2} = \sqrt{3} \sin 270^\circ = -\sqrt{3}$
$m = 2$: $I_{2,2} = 3 \sin 300^\circ = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$m = 3$: $I_{3,2} = 3\sqrt{3} \sin 330^\circ = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(iii) $n = 3$ のとき

$m = 1$: $I_{1,3} = \sqrt{3} \sin 390^\circ = \sqrt{3} \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$m = 2$: $I_{2,3} = 3 \sin 420^\circ = 3 \sin 60^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$m = 3$: $I_{3,3} = 3\sqrt{3} \sin 450^\circ = 3\sqrt{3} \sin 90^\circ = 3\sqrt{3}$

以上の 9 つの値のうち、負のものは $-\sqrt{3}$ と $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ の 2 種類である。 $-\frac{3\sqrt{3}}{2} = -1.5\sqrt{3}$ であり、$-1.5\sqrt{3} < -\sqrt{3}$ であるから、最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ となる。

この最小値を与える $(m, n)$ の組は、上記の結果より $(3, 1), (2, 2), (3, 2)$ である。

解法2

(1), (2)の図形的な解法

複素数平面上において、原点を $\text{O}$、点 $z$ を $\text{P}$、点 $1$ を $\text{A}$ とおく。 $z = \cos\theta + i\sin\theta$ より $|\text{OP}| = 1$ であり、また $|\text{OA}| = 1$ であるから、$\triangle\text{AOP}$ は $\text{OA} = \text{OP} = 1$ の二等辺三角形となる。頂角 $\angle\text{AOP} = \theta$ である。

$\beta = z - 1$ であるから、$\beta$ は点 $\text{A}$ から点 $\text{P}$ に向かうベクトル $\vec{\text{AP}}$ に対応する。したがって、$\beta$ の絶対値 $|\beta|$ は線分 $\text{AP}$ の長さに等しい。頂点 $\text{O}$ から底辺 $\text{AP}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とすると、$\triangle\text{AOH}$ は直角三角形であり、$\angle\text{AOH} = \frac{\theta}{2}$ となる。これにより、$\text{AH} = \text{OA} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ となるため、

$$ |\beta| = \text{AP} = 2\text{AH} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) $$

となり、(1) が示された。

次に、$\beta$ の偏角 $\arg\beta$ について考える。 $\arg\beta$ は、実軸の正の向き（ベクトル $\vec{\text{OA}}$）を基準として、ベクトル $\vec{\text{AP}}$ の向きがなす角に等しい。二等辺三角形 $\text{AOP}$ の底角 $\angle\text{OAP}$ は、

$$ \angle\text{OAP} = \frac{180^\circ - \theta}{2} = 90^\circ - \frac{\theta}{2} $$

である。実軸上に点 $\text{A}$ をとると、ベクトル $\vec{\text{AO}}$ の偏角は $180^\circ$ であり、そこから $\angle\text{OAP}$ だけ時計回りに回転した方向がベクトル $\vec{\text{AP}}$ の方向である（$\text{P}$ は上半平面にあるため）。したがって、実軸の正の向きと $\vec{\text{AP}}$ がなす角は、

$$ \arg\beta = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} + 90^\circ $$

となる。これは $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において $0^\circ \leqq \arg\beta < 360^\circ$ を満たすため、(2) が示された。

解説

複素数の絶対値と偏角に関する標準的な問題である。 (1) および (2) は、式計算で愚直に進める解法1が基本となる。半角の公式や、$\cos\phi = \sin(\phi + 90^\circ)$ などの三角関数の変換公式を的確に運用する力が問われている。一方で、複素数をベクトルとして図形的に捉える解法2を用いれば、計算量を減らして直感的に証明することが可能である。 (3) はド・モアブルの定理の典型的な応用である。立式したのち、条件を満たす組が 9 通りしかないことに着目し、すべてを書き出して比較するのが最も確実な処理である。前半の絶対値や偏角の導出を間違えると後半の計算がすべて狂ってしまうため、導入部分を慎重に合わせることが鍵となる。