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大阪大学 2009年理系第4問解説

方針・初手

与えられた条件式 $\vec{a} \cdot \overrightarrow{OP} = -\vec{b} \cdot \overrightarrow{OP}$ は、変形すると $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \overrightarrow{OP} = 0$ となる。$\vec{a}, \vec{b}$ はそれぞれ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ と同じ向きの単位ベクトルであるため、$\vec{a} + \vec{b}$ は $\angle \text{AOB}$ の二等分線の方向を表す。

これと直交する直線OPはどのような直線か（幾何学的には外角の二等分線に相当する）を把握することが第一歩である。ここから、位置ベクトルを用いた代数的な計算で点Qを特定するアプローチ（解法1）と、幾何学的な図形の性質を利用して中点連結定理を見出すアプローチ（解法2）の2つが考えられる。

解法1

問題の条件より、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ はそれぞれ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ と同じ向きの単位ベクトルであるから、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ であり、

$$ \overrightarrow{OA} = |\overrightarrow{OA}|\vec{a}, \quad \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OB}|\vec{b} $$

と表せる。

与えられた条件 $\vec{a} \cdot \overrightarrow{OP} = -\vec{b} \cdot \overrightarrow{OP}$ より、

$$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \overrightarrow{OP} = 0 $$

が成り立つ。三角形OABの存在条件より $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではないため、$\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{0}$ である。ここで、

$$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 1 - 1 = 0 $$

となるため、平面OAB上において $\vec{a} + \vec{b}$ に垂直なベクトルの一つとして $\vec{a} - \vec{b}$ をとることができる。直線OPは原点Oを通り $\vec{a} + \vec{b}$ に垂直な直線であるから、直線OP上の点Qの位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ は、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} = t(\vec{a} - \vec{b}) $$

と表される。点QはAから直線OPに下ろした垂線の足であるため、$\overrightarrow{AQ} \perp \overrightarrow{OP}$、すなわち $\overrightarrow{AQ} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ が成り立つ。$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OA}$ であるから、

$$ \{t(\vec{a} - \vec{b}) - |\overrightarrow{OA}|\vec{a}\} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0 $$

$$ t|\vec{a} - \vec{b}|^2 - |\overrightarrow{OA}|(\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 $$

$$ t(|\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2) - |\overrightarrow{OA}|(|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 $$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ を代入して整理すると、

$$ t(2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\overrightarrow{OA}|(1 - \vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 $$

$$ 2t(1 - \vec{a} \cdot \vec{b}) = |\overrightarrow{OA}|(1 - \vec{a} \cdot \vec{b}) $$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではないため $\vec{a} \cdot \vec{b} < 1$ であり、$1 - \vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ となる。両辺を $1 - \vec{a} \cdot \vec{b}$ で割ると、

$$ 2t = |\overrightarrow{OA}| \iff t = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}| $$

よって、点Qの位置ベクトルは次のように求まる。

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|(\vec{a} - \vec{b}) $$

(1)

点Mは辺ABの中点であるから、

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = \frac{|\overrightarrow{OA}|\vec{a} + |\overrightarrow{OB}|\vec{b}}{2} $$

ゆえに、ベクトル $\overrightarrow{MQ}$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MQ} &= \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OM} \\ &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|(\vec{a} - \vec{b}) - \frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}|\vec{a} + |\overrightarrow{OB}|\vec{b}) \\ &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|\vec{a} - \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|\vec{b} - \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|\vec{a} - \frac{1}{2}|\overrightarrow{OB}|\vec{b} \\ &= -\frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{OB}|)\vec{b} \end{aligned} $$

$|\overrightarrow{OA}| > 0, |\overrightarrow{OB}| > 0$ より $-\frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{OB}|) \neq 0$ であるため、$\overrightarrow{MQ}$ は $\vec{b}$ の実数倍で表される。したがって、$\overrightarrow{MQ}$ と $\vec{b}$ は平行である。

(2)

（1）の結果より、

$$ |\overrightarrow{MQ}| = \left| -\frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{OB}|)\vec{b} \right| = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{OB}|)|\vec{b}| $$

$|\vec{b}| = 1$ であるから、

$$ |\overrightarrow{MQ}| = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{OB}|) $$

となり、題意が示された。

解法2

与えられた条件から $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \overrightarrow{OP} = 0$ が成り立つ。$\vec{a} + \vec{b}$ は $\angle \text{AOB}$ の内角の二等分線に平行なベクトルであるため、直線OPは $\angle \text{AOB}$ の内角の二等分線と直交する直線、すなわち $\angle \text{AOB}$ の外角の二等分線である。

ここで、半直線OBのOを越える延長上に点 $\text{A}'$ を $OA' = OA$ となるようにとる。$\triangle \text{OAA}'$ は $OA = OA'$ の二等辺三角形であり、$\angle \text{AOB}$ の外角は $\angle \text{AOA}'$ となるため、直線OPは頂角 $\angle \text{AOA}'$ の二等分線となる。

点QはAから直線OPに下ろした垂線の足である。二等辺三角形 $\triangle \text{OAA}'$ において、頂角Oの二等分線OPは底辺 $\text{AA}'$ を垂直に二等分する性質があるため、垂線の足Qは線分 $\text{AA}'$ の中点に一致する。

(1)

$\triangle \text{ABA}'$ に着目する。点Mは辺ABの中点、点Qは辺 $\text{AA}'$ の中点であるから、中点連結定理より線分MQと辺 $\text{BA}'$ は平行である。辺 $\text{BA}'$ は直線OB上にあるため、線分MQと直線OBは平行である。$\vec{b}$ は $\overrightarrow{OB}$ と同じ向きのベクトルであるため、$\overrightarrow{MQ}$ と $\vec{b}$ は平行である。

(2)

さらに、中点連結定理より $MQ = \frac{1}{2}A'B$ が成り立つ。点Oは線分 $\text{A}'\text{B}$ 上の点（B, O, $\text{A}'$ の順に並ぶ）であるため、

$$ A'B = A'O + OB = OA + OB = |\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{OB}| $$

となる。したがって、

$$ |\overrightarrow{MQ}| = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}| + |\overrightarrow{OB}|) $$

となり、題意が示された。

解説

$\vec{a} + \vec{b}$ が角の二等分線方向のベクトルとなることは平面ベクトルの典型的な性質である。これを踏まえ、代数的に直線の方向ベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ を設定する解法1と、図形的に外角の二等分線であることを利用して中点連結定理に持ち込む解法2のどちらでも解答可能である。解法2の補助線（点 $\text{A}'$ の作図）はやや発想力を要しますが、図形的な意味を正確に捉えられれば計算量を大きく減らすことができる。