大阪大学 2007年 理系 第3問 解説

方針・初手

与えられた条件 (a), (b) は反転（inversion）と呼ばれる変換を意味している。 図形的に考えることも可能であるが、ベクトル方程式または座標を設定して数式処理に持ち込むのが確実である。 ベクトルを用いる場合は、円 $C$ 上の点 $P$ の満たす方程式 $|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2$ を出発点とし、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OQ}$ で表して代入する。 座標を用いる場合は、原点 $O$ と中心 $A$ の位置関係から極座標または直交座標を設定すると計算が容易になる。

解法1

(1)

円 $C$ は中心 $A$、半径 $r$ であり、原点 $O$ は円 $C$ 上にあるため、

$$ |\overrightarrow{OA}| = r $$

である。

点 $P$ は円 $C$ 上にあるので、$|\overrightarrow{AP}| = r$ より、

$$ |\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}|^2 = r^2 $$

これを展開すると、

$$ |\overrightarrow{OP}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} + |\overrightarrow{OA}|^2 = r^2 $$

$|\overrightarrow{OA}|^2 = r^2$ であるから、

$$ |\overrightarrow{OP}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = 0 $$

となる。

条件 (a) より $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ は同じ向きであるから、正の実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$ と表せる。

条件 (b) の $|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}| = 1$ より、

$$ |\overrightarrow{OP}| \cdot k|\overrightarrow{OP}| = 1 \implies k = \frac{1}{|\overrightarrow{OP}|^2} $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{|\overrightarrow{OP}|^2} \overrightarrow{OP} \implies \overrightarrow{OP} = |\overrightarrow{OP}|^2 \overrightarrow{OQ} $$

と表される。

これを先ほどの円の方程式に代入すると、

$$ |\overrightarrow{OP}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \left( |\overrightarrow{OP}|^2 \overrightarrow{OQ} \right) = 0 $$

点 $P$ は $O$ と異なるため $|\overrightarrow{OP}| \neq 0$ である。両辺を $|\overrightarrow{OP}|^2$ で割ると、

$$ 1 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0 $$

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2} $$

を得る。

ここで、直線 $OA$ 上に点 $B$ を

$$ \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2|\overrightarrow{OA}|^2} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2r^2} \overrightarrow{OA} $$

となるようにとると、

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2r^2} |\overrightarrow{OA}|^2 = \frac{1}{2} $$

である。これを上の式に代入すると、

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 $$

$$ \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OB}) = 0 $$

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BQ} = 0 $$

よって、$\overrightarrow{BQ} \perp \overrightarrow{OA}$ となる。

これは、点 $Q$ が定点 $B$ を通り $\overrightarrow{OA}$ に直交する直線上にあることを示している。

逆に、$P$ が $O$ を除く $C$ 上全体を動くとき、ベクトル $\overrightarrow{OP}$ の方向は円における $O$ の接線方向を除いてすべての方向をとり得るため、$Q$ はこの直線上をすべて動く。

以上より、点 $Q$ は $\overrightarrow{OA}$ に直交する直線上を動くことが示された。

(2)

(1) の結果より、直線 $l$ は点 $B$ を通り $\overrightarrow{OA}$ に垂直な直線である。

したがって、円 $C$ の中心 $A$ から直線 $l$ までの距離 $d$ は、線分 $AB$ の長さに等しい。

$$ d = |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}| $$

$$ \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2r^2} \overrightarrow{OA} $$

であるから、

$$ d = \left| \frac{1}{2r^2} - 1 \right| |\overrightarrow{OA}| = \left| \frac{1}{2r^2} - 1 \right| r = \left| \frac{1}{2r} - r \right| $$

となる。

直線 $l$ が円 $C$ と 2 点で交わるための条件は、$d < r$ であることなので、

$$ \left| \frac{1}{2r} - r \right| < r $$

これを解くと、

$$ -r < \frac{1}{2r} - r < r $$

すべての辺に $r$ を足して、

$$ 0 < \frac{1}{2r} < 2r $$

$r > 0$ より、左側の不等式 $0 < \frac{1}{2r}$ は常に成り立つ。

右側の不等式 $\frac{1}{2r} < 2r$ について、両辺に $2r$（正の数）を掛けると、

$$ 1 < 4r^2 $$

$$ r^2 > \frac{1}{4} $$

$r > 0$ であるから、

$$ r > \frac{1}{2} $$

を得る。

解法2

(1)

原点 $O$ を極、半直線 $OA$ を始線とする極座標系を考える。

$A$ の極座標を $(r, 0)$ とすると、原点 $O$ を通り中心 $A$ の円 $C$ の極方程式は

$$ R = 2r \cos \theta \quad \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right) $$

と表される。ここで、$P$ は $O$ を除く $C$ 上の点であるから、$R > 0$ より $\theta$ の変域は開区間となる。

点 $P$ の極座標を $(R, \theta)$、点 $Q$ の極座標を $(R', \theta')$ とする。

条件 (a) より $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ は同じ向きであるから、

$$ \theta' = \theta $$

条件 (b) より $|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}| = 1$ であるから、

$$ R \cdot R' = 1 \implies R' = \frac{1}{R} $$

円 $C$ の極方程式に代入すると、

$$ R' = \frac{1}{2r \cos \theta'} \implies R' \cos \theta' = \frac{1}{2r} $$

極座標 $(R', \theta')$ を直交座標 $(x, y)$ に変換すると、$x = R' \cos \theta'$ であるから、

$$ x = \frac{1}{2r} $$

となる。

この直線は、始線（すなわち $\overrightarrow{OA}$ と同じ向きの半直線）に垂直な直線である。

$\theta'$ は $-\frac{\pi}{2} < \theta' < \frac{\pi}{2}$ をすべて動くため、$y = R' \sin \theta' = \frac{1}{2r} \tan \theta'$ はすべての実数値をとる。

したがって、点 $Q$ は $\overrightarrow{OA}$ に直交する直線上を動くことが示された。

(2)

(1) の座標系（極座標を直交座標に読み替えたもの）において、円 $C$ の中心 $A$ の座標は $(r, 0)$ である。

直線 $l$ の方程式は $x = \frac{1}{2r}$ である。

直線 $l$ と円 $C$ が 2 点で交わるための条件は、円の中心 $A(r, 0)$ と直線 $x = \frac{1}{2r}$ との距離 $d$ が、円の半径 $r$ より小さいことである。

$$ d = \left| r - \frac{1}{2r} \right| $$

であるから、

$$ \left| r - \frac{1}{2r} \right| < r $$

が成り立つ。

以下、解法1と同様の計算により、

$$ -r < r - \frac{1}{2r} < r $$

$$ -2r < -\frac{1}{2r} < 0 $$

$r > 0$ より辺々に $-2r$ を掛けて不等号の向きを反転させると、

$$ 0 < 1 < 4r^2 $$

したがって $r^2 > \frac{1}{4}$ となり、$r > 0$ であることから

$$ r > \frac{1}{2} $$

を得る。

解説

原点を中心とした反転（inversion）に関する典型的な問題である。

反転変換においては、「原点を通る円」は「原点を通らない直線」へと写像される。本問はこの性質を直接証明させる内容である。

図形的に処理することも可能であるが、解法1のようにベクトルを用いるか、解法2のように座標（特に極座標）を用いると、計算量も少なく論理の飛躍なく示すことができる。

(2) は、(1) で求めた直線と円が2点で交わる条件を求める問題である。

円と直線の位置関係は「中心と直線の距離 $d$ と半径 $r$ の大小関係」を利用するのが鉄則である。判別式を用いることもできるが、計算がやや煩雑になる。

絶対値を含む不等式の処理において、$r>0$ の条件を忘れずに用いることがポイントである。

答え

(1)

解説内の証明を参照。

(2)

$$ r > \frac{1}{2} $$