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大阪大学 2009年理系第5問解説

方針・初手

点 $(p_n, q_n)$ が対数関数と円の交点であり、第1象限にあることの幾何学的・代数的な意味を考える。円の方程式に着目すると、円上の点の $y$ 座標のとりうる値の範囲が上から $1$ で押さえられることが分かる。これにより $q_n \leqq 1$ が導かれ、連動して $p_n$ の範囲も求まる。これを不等式評価に利用して(1)を証明する。 (2)は対数関数の基本的な部分積分による計算である。 (3)は(1)の極限の結果と、(2)で得られた式を組み合わせることで極限値を求める。

解法1

(1)

点 $(p_n, q_n)$ は円 $\left(x - \frac{1}{n}\right)^2 + y^2 = 1$ 上の点であるから、以下の等式を満たす。

$$ \left(p_n - \frac{1}{n}\right)^2 + q_n^2 = 1 $$

これを変形すると、次のようになる。

$$ 1 - q_n^2 = \left(p_n - \frac{1}{n}\right)^2 \quad \cdots \text{①} $$

また、点 $(p_n, q_n)$ は第1象限にあるから、$q_n > 0$ である。さらに、点 $(p_n, q_n)$ は円周上の点でもあるため、$y$ 座標の最大値は $1$ であり、$q_n \leqq 1$ が成り立つ。点 $(p_n, q_n)$ は $y = \log(nx)$ 上の点でもあるから、

$$ q_n = \log(np_n) $$

となる。 $0 < q_n \leqq 1$ であるから、

$$ 0 < \log(np_n) \leqq 1 $$

底 $e$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係より、

$$ 1 < n p_n \leqq e $$

各辺を $n$ で割ると、

$$ \frac{1}{n} < p_n \leqq \frac{e}{n} $$

各辺から $\frac{1}{n}$ を引くと、

$$ 0 < p_n - \frac{1}{n} \leqq \frac{e-1}{n} $$

各辺は正であるから、2乗しても不等号の向きは変わらない。

$$ \left(p_n - \frac{1}{n}\right)^2 \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2} $$

①より、

$$ 1 - q_n^2 \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2} $$

が示された。また、実数の2乗は $0$ 以上であるから $\left(p_n - \frac{1}{n}\right)^2 \geqq 0$ であり、①より $1 - q_n^2 \geqq 0$ となる。したがって、

$$ 0 \leqq 1 - q_n^2 \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2} $$

さらに $0<q_n\leqq 1$ より、$0\leqq 1-q_n$ であり、

$$ 1-q_n \leqq (1-q_n)(1+q_n)=1-q_n^2 $$

が成り立つ。したがって、

$$ 0 \leqq 1-q_n \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2} $$

となり、求める不等式

$$ 1-q_n \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2} $$

が示された。

ここで、$n \to \infty$ のとき $\frac{(e-1)^2}{n^2} \to 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n\to\infty} q_n = 1 $$

が示された。

(2)

$S_n = \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} \log(nx) dx$ を、部分積分法を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} S_n &= \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} 1 \cdot \log(nx) dx \\ &= \Bigl[ x \log(nx) \Bigr]_{\frac{1}{n}}^{p_n} - \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} x \cdot \frac{n}{nx} dx \\ &= p_n \log(np_n) - \frac{1}{n} \log\left(n \cdot \frac{1}{n}\right) - \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} 1 dx \\ &= p_n \log(np_n) - \frac{1}{n} \log 1 - \Bigl[ x \Bigr]_{\frac{1}{n}}^{p_n} \\ &= p_n \log(np_n) - \left(p_n - \frac{1}{n}\right) \\ &= p_n \log(np_n) - p_n + \frac{1}{n} \end{aligned} $$

(3)

(2)の式に $n$ をかけると、

$$ n S_n = n p_n \log(np_n) - n p_n + 1 $$

ここで、(1)より $q_n = \log(np_n)$ であり、極限 $\lim_{n\to\infty} q_n = 1$ が分かっている。 $q_n = \log(np_n)$ を $n p_n$ について解くと、

$$ n p_n = e^{q_n} $$

となる。 $n \to \infty$ のとき $q_n \to 1$ であるから、指数関数の連続性より、

$$ \lim_{n\to\infty} n p_n = \lim_{n\to\infty} e^{q_n} = e^1 = e $$

したがって、$\lim_{n\to\infty} n S_n$ は次のように極限の基本性質を用いて計算できる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} n S_n &= \lim_{n\to\infty} \left( n p_n \cdot \log(np_n) - n p_n + 1 \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( n p_n \cdot q_n - n p_n + 1 \right) \\ &= e \cdot 1 - e + 1 \\ &= 1 \end{aligned} $$

解説

(1) において、「点 $(p_n, q_n)$ が円上の点である」という条件から自動的に $y \leqq 1$ という上限が得られることに気づけるかが最大の鍵となる。対数関数の真数条件や $y>0$ から下限も設定し、不等式を導出する流れは標準的であるが、図形的な意味を式に翻訳する能力が問われている。 (2) は対数関数の積分における定番の部分積分である。 (3) は (2) で得られた式と (1) の極限をどう結びつけるかが問われるが、$\log(np_n) = q_n$ を利用して $np_n = e^{q_n}$ に変換することで、見通しよく極限を計算することができる。