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大阪大学 2015年理系第1問解説

方針・初手

(1) 与えられた不等式は、左辺の積分区間が $0$ から $n$、右辺が $0$ から $1$ となっている。積分区間を揃えるために、左辺の積分において $x = nt$ と置換し、被積分関数を比較する。

(2) (1) で置換した結果から $I_n$ と予想される極限値 $\int_0^1 \log(1+x) dx$ との差をとる。その差を問題文に与えられた不等式 $\log(1+x) \leqq \log 2$ を用いて上から評価し、さらに与えられた極限の式を用いてはさみうちの原理を適用する。

解法1

(1)

左辺の積分について、$x = nt$ とおくと、 $dx = n dt$ であり、$x$ が $0$ から $n$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $1$ まで変化する。

$$ \begin{aligned} \int_0^n f_n(x) dx &= \int_0^1 \frac{nt}{n(1+nt)}\log\left(1+\frac{nt}{n}\right) \cdot n dt \\ &= \int_0^1 \frac{nt}{1+nt}\log(1+t) dt \end{aligned} $$

ここで、$0 \leqq t \leqq 1$ および自然数 $n$ において、

$$ \frac{nt}{1+nt} = 1 - \frac{1}{1+nt} $$

であり、$1+nt \geqq 1$ より $\frac{1}{1+nt} \leqq 1$ であるが、特に $t>0$ の範囲では $\frac{1}{1+nt} > 0$ であるから、

$$ \frac{nt}{1+nt} \leqq 1 $$

が成り立つ。また、$0 \leqq t \leqq 1$ において $\log(1+t) \geqq \log 1 = 0$ であるから、両辺に $\log(1+t)$ を掛けても不等号の向きは変わらず、

$$ \frac{nt}{1+nt}\log(1+t) \leqq \log(1+t) $$

となる。両辺を $t$ について $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ \int_0^1 \frac{nt}{1+nt}\log(1+t) dt \leqq \int_0^1 \log(1+t) dt $$

となり、積分変数を $x$ で書き直せば、

$$ \int_0^n f_n(x) dx \leqq \int_0^1 \log(1+x) dx $$

が示された。

(2)

(1) の結果より、

$$ I_n = \int_0^1 \frac{nx}{1+nx}\log(1+x) dx $$

と書ける。ここで、極限値の候補である $\int_0^1 \log(1+x) dx$ との差を考えると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \log(1+x) dx - I_n &= \int_0^1 \left( 1 - \frac{nx}{1+nx} \right) \log(1+x) dx \\ &= \int_0^1 \frac{1}{1+nx} \log(1+x) dx \end{aligned} $$

となる。積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、被積分関数は常に $0$ 以上であり、さらに問題文の条件より $\log(1+x) \leqq \log 2$ であるから、

$$ 0 \leqq \int_0^1 \frac{1}{1+nx} \log(1+x) dx \leqq \int_0^1 \frac{\log 2}{1+nx} dx $$

右辺の定積分を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{\log 2}{1+nx} dx &= \log 2 \left[ \frac{1}{n} \log(1+nx) \right]_0^1 \\ &= \frac{\log 2}{n} \log(1+n) \end{aligned} $$

となる。次に $n \to \infty$ のときの極限を考える。$1+n = y$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $y \to \infty$ であるから、問題文で与えられた $\lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{y} = 0$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{\log(1+n)}{n} &= \lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{y-1} \\ &= \lim_{y \to \infty} \left( \frac{\log y}{y} \cdot \frac{y}{y-1} \right) \\ &= \lim_{y \to \infty} \left( \frac{\log y}{y} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{y}} \right) \\ &= 0 \cdot 1 = 0 \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\log 2}{n} \log(1+n) = 0 $$

はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \left( \int_0^1 \log(1+x) dx - I_n \right) = 0 $$

となり、数列 $\{I_n\}$ は収束する。その極限値は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} I_n &= \int_0^1 \log(1+x) dx \\ &= \int_0^1 (1+x)' \log(1+x) dx \\ &= \Big[ (1+x)\log(1+x) \Big]_0^1 - \int_0^1 (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} dx \\ &= 2\log 2 - [ x ]_0^1 \\ &= 2\log 2 - 1 \end{aligned} $$

となる。

解説

(1) は積分区間の異なる定積分の不等式を証明する問題である。このような場合は、積分変数の置換を行って積分区間を一致させ、被積分関数の大小関係に帰着させるのが定石となる。

(2) は数列の極限を求める問題である。(1) で示した不等式から、極限値が $\int_0^1 \log(1+x) dx$ になることが予想できる。極限の証明においては、極限値の予測値との差が $0$ に収束することを、はさみうちの原理を用いて示す手法が有効である。問題文に用意されたヒント $\log(1+x) \leqq \log 2$ や $\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{x} = 0$ が、評価のどの段階で役立つかを意識しながら論理を展開することが求められる。