北海道大学 1979年 理系 第4問 解説

方針・初手

(1)は広義積分の計算である。被積分関数に含まれる $x e^{-nx^2}$ という形から、合成関数の微分の逆算を利用して原始関数を求めることができる。 (2)は(1)の結果を用いて数列の極限を考える。数列 $\{A_n\}$ が収束するような $p$ の条件を求める。次に、$x$ を変数とする関数 $f_n(x)$ の微分を行い、増減を調べて最大値 $B_n$ を求める。そして数列 $\{B_n\}$ が発散するような $p$ の条件を求め、2つの条件の共通範囲をとる。

解法1

(1) 与えられた関数 $f_n(x) = n^p x e^{-nx^2}$ の定積分を計算する。

$$ \int_0^a f_n(x) dx = \int_0^a n^p x e^{-nx^2} dx $$

$$ = n^{p-1} \int_0^a n x e^{-nx^2} dx $$

$$ = n^{p-1} \left[ -\frac{1}{2} e^{-nx^2} \right]_0^a $$

$$ = -\frac{n^{p-1}}{2} (e^{-na^2} - 1) $$

$$ = \frac{n^{p-1}}{2} (1 - e^{-na^2}) $$

$n$ は自然数であるから $n > 0$ であり、$a \to +\infty$ のとき $e^{-na^2} \to 0$ となる。よって、

$$ A_n = \lim_{a \to +\infty} \int_0^a f_n(x) dx = \lim_{a \to +\infty} \frac{n^{p-1}}{2} (1 - e^{-na^2}) = \frac{n^{p-1}}{2} $$

(2) (1)より、$A_n = \frac{1}{2} n^{p-1}$ である。 条件（イ）より、数列 $\{A_n\}$ が収束するための条件は、$n$ の累乗の指数部分が $0$ 以下であることである。

$$ p - 1 \leqq 0 $$

$$ p \leqq 1 \quad \cdots \text{①} $$

次に、$f_n(x)$ の最大値 $B_n$ を求める。$f_n(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ f_n'(x) = n^p \left\{ 1 \cdot e^{-nx^2} + x \cdot (-2nx)e^{-nx^2} \right\} = n^p e^{-nx^2} (1 - 2nx^2) $$

$f_n'(x) = 0$ とすると、$1 - 2nx^2 = 0$ であり、$x \geqq 0$ であるから $x = \frac{1}{\sqrt{2n}}$ となる。 $x \geqq 0$ における $f_n(x)$ の増減を調べると、$0 \leqq x < \frac{1}{\sqrt{2n}}$ のとき $f_n'(x) > 0$、$x > \frac{1}{\sqrt{2n}}$ のとき $f_n'(x) < 0$ となる。 したがって、$f_n(x)$ は $x = \frac{1}{\sqrt{2n}}$ で最大値をとる。

$$ B_n = f_n\left(\frac{1}{\sqrt{2n}}\right) = n^p \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-n \left(\frac{1}{\sqrt{2n}}\right)^2} $$

$$ = \frac{n^{p - \frac{1}{2}}}{\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{2}} = \frac{n^{p - \frac{1}{2}}}{\sqrt{2e}} $$

条件（ロ）より、数列 $\{B_n\}$ が発散するための条件は、$n$ の累乗の指数部分が正であることである。

$$ p - \frac{1}{2} > 0 $$

$$ p > \frac{1}{2} \quad \cdots \text{②} $$

①と②を同時に満たす $p$ の範囲を求めて、

$$ \frac{1}{2} < p \leqq 1 $$

解説

• (1)の積分では、$x e^{-nx^2}$ の形が $(e^{-nx^2})'$ に定数倍で等しくなることを見抜くことが鍵である。$t = -nx^2$ などの置換積分を用いてもよいが、微分の逆算に慣れておくと計算が早い。
• (2)では、$n$ を底とする累乗 $n^k$ の極限についての基本的な性質を問うている。$k > 0$ ならば発散、$k = 0$ ならば $1$ に収束、$k < 0$ ならば $0$ に収束するという事実を押さえておく必要がある。
• 関数 $f_n(x)$ の最大値を与える $x$ の値が $n$ によって変化することに注意して増減を調べるのがポイントである。

答え

(1) $$ A_n = \frac{n^{p-1}}{2} $$

(2) $$ \frac{1}{2} < p \leqq 1 $$