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大阪大学 2021年理系第3問解説

方針・初手

(1)は、与えられた不等式を2つの不等式に分け、それぞれ左辺から右辺（あるいは右辺から左辺）を引いた関数をおいて微分し、増減を調べることで証明する。(2)は、(1)で示した不等式が任意の $x \geqq t$ で成り立つことを利用し、区間 $[t, t+\frac{1}{n}]$ で積分する。(3)は、(2)の不等式の $t$ に $1+\frac{k}{n}$ を代入して $k=0$ から $n-1$ までの和をとり、はさみうちの原理と区分求積法を用いて極限を計算する。

解法1

(1)

$$ f(x) = \log x - \log t - \frac{1}{t}(x-t) $$

$$ g(x) = \frac{(x-t)^2}{2} + \log x - \log t - \frac{1}{t}(x-t) $$

とおく。$x \geqq t$ において $f(x) \leqq 0$ かつ $g(x) \geqq 0$ が成り立つことを示せばよい。

$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{t} = \frac{t-x}{xt} $$

条件より $x \geqq t \geqq 1$ であるから $xt > 0$ かつ $t-x \leqq 0$ となり、$f'(x) \leqq 0$ である。よって、$f(x)$ は $x \geqq t$ において単調に減少する。 $f(t) = 0$ であるから、$x \geqq t$ のとき $f(x) \leqq f(t) = 0$ が成り立つ。

また、$g(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ g'(x) = x-t + \frac{1}{x} - \frac{1}{t} = (x-t) - \frac{x-t}{xt} = (x-t)\left(1-\frac{1}{xt}\right) $$

$x \geqq t \geqq 1$ より $x-t \geqq 0$ かつ $xt \geqq 1$ であるから、$1-\frac{1}{xt} \geqq 0$ となり、$g'(x) \geqq 0$ である。よって、$g(x)$ は $x \geqq t$ において単調に増加する。 $g(t) = 0$ であるから、$x \geqq t$ のとき $g(x) \geqq g(t) = 0$ が成り立つ。

以上より、$x \geqq t$ のとき、不等式

$$ -\frac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x - \log t - \frac{1}{t}(x-t) \leqq 0 $$

が成り立つことが示された。

(2)

(1)で示した不等式において、各辺を $x$ について区間 $[t, t+\frac{1}{n}]$ で定積分する。この区間においては常に $x \geqq t$ を満たすため、不等式関係は保存される。

$$ \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \left\{ -\frac{(x-t)^2}{2} \right\} dx \leqq \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \left\{ \log x - \log t - \frac{1}{t}(x-t) \right\} dx \leqq \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} 0 dx $$

この不等式の左辺を計算すると、

$$ \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \left\{ -\frac{(x-t)^2}{2} \right\} dx = \left[ -\frac{(x-t)^3}{6} \right]_{t}^{t+\frac{1}{n}} = -\frac{1}{6n^3} $$

中辺を計算すると、

$$ \begin{aligned} &\int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \left\{ \log x - \log t - \frac{1}{t}(x-t) \right\} dx \\ &= \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \log x dx - (\log t) \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} 1 dx - \frac{1}{t} \left[ \frac{(x-t)^2}{2} \right]_{t}^{t+\frac{1}{n}} \\ &= \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \log x dx - (\log t) \cdot \frac{1}{n} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2n^2} \\ &= \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \log x dx - \frac{1}{n}\log t - \frac{1}{2tn^2} \end{aligned} $$

右辺は $0$ であるから、これらをまとめると、

$$ -\frac{1}{6n^3} \leqq \int_{t}^{t+\frac{1}{n}} \log x dx - \frac{1}{n}\log t - \frac{1}{2tn^2} \leqq 0 $$

が成り立つことが示された。

(3)

(2)の不等式において、$t = 1+\frac{k}{n}$ （$k=0, 1, \dots, n-1$）とする。$k \geqq 0$、$n \geqq 1$ より $t \geqq 1$ を満たすのでこの代入は妥当である。それぞれの $k$ に対する不等式の辺々を加えると、

$$ \sum_{k=0}^{n-1} \left( -\frac{1}{6n^3} \right) \leqq \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ \int_{1+\frac{k}{n}}^{1+\frac{k+1}{n}} \log x dx - \frac{1}{n}\log \left( 1+\frac{k}{n} \right) - \frac{1}{2n^2 \left( 1+\frac{k}{n} \right)} \right\} \leqq 0 $$

となる。各辺の和を計算する。左辺は、

$$ \sum_{k=0}^{n-1} \left( -\frac{1}{6n^3} \right) = -\frac{1}{6n^3} \times n = -\frac{1}{6n^2} $$

中辺の第1項は、積分区間が接続されるため、

$$ \sum_{k=0}^{n-1} \int_{1+\frac{k}{n}}^{1+\frac{k+1}{n}} \log x dx = \int_1^2 \log x dx = \Big[ x\log x - x \Big]_1^2 = 2\log 2 - 1 $$

中辺の第2項は、$a_n$ の定義より、

$$ -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \log \left( 1+\frac{k}{n} \right) = -\frac{1}{n} a_n $$

中辺の第3項は、

$$ -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2n^2 \left( 1+\frac{k}{n} \right)} = -\frac{1}{2n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+k} $$

以上を代入すると、不等式は次のようになる。

$$ -\frac{1}{6n^2} \leqq (2\log 2 - 1) - \frac{a_n}{n} - \frac{1}{2n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+k} \leqq 0 $$

各辺に $n$ を掛けると、

$$ -\frac{1}{6n} \leqq n(2\log 2 - 1) - a_n - \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+k} \leqq 0 $$

各辺に $-1$ を掛け、中央が $a_n - n(2\log 2 - 1)$ を含む形になるように整理すると、

$$ 0 \leqq a_n - n(2\log 2 - 1) + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+k} \leqq \frac{1}{6n} $$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{6n} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \left\{ a_n - n(2\log 2 - 1) + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+k} \right\} = 0 $$

が成り立つ。さらに、区分求積法を用いると、

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \Big[ \log(1+x) \Big]_0^1 = \log 2 $$

となるため、極限の性質より以下が導かれる。

$$ \lim_{n \to \infty} \left\{ a_n - n(2\log 2 - 1) \right\} = -\frac{1}{2} \log 2 $$

したがって、$\lim_{n \to \infty} (a_n - pn) = q$ を満たす実数 $p, q$ の値は、求めた極限と比較して決定できる。

解説

不等式の証明から積分、そして区分求積法と極限の計算へとつながる微積分学の典型的な誘導問題である。(1)で得られた関数の近似不等式を、(2)で積分することで数列の和の評価に利用できる形へ変換する手腕が問われている。(3)では、$t = 1+\frac{k}{n}$ とおくことで区分求積法の形が自然に現れることに気付く必要がある。極限計算の際、$\sum_{k=0}^{n-1} \int_{1+\frac{k}{n}}^{1+\frac{k+1}{n}} \log x dx$ がそのまま定積分 $\int_1^2 \log x dx$ になることは重要なポイントである。