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北海道大学 1999年理系第4問解説

方針・初手

(1) は積分区間を $0$ から $1$ にするために、$t = x - n$ などの置換積分を行います。その際、$f(x)$ が周期 $1$ の周期関数である性質 $f(x+n) = f(x)$ （$n$ は整数）を用います。

(2) は積分区間 $[0, n]$ を $1$ ごとの区間 $[k, k+1]$ に分割し、(1) の結果を利用して等比数列の和として計算します。このとき、公比が $1$ になるかどうかの条件分岐（場合分け）を忘れないようにします。

(3) は $a = -1$ としたときの (2) の結果を利用し、極限を先に計算してから、$a = -1$ のときの $p$ を部分積分を用いて具体的に求めます。

解法1

(1)

積分

$$ \int_n^{n+1} e^{ax}f(x)dx $$

において、$t = x - n$ とおくと、$x = t + n$ であり、$dx = dt$ となります。積分区間は $x$ が $n$ から $n+1$ に変化するとき、$t$ は $0$ から $1$ に変化します。したがって、

$$ \int_n^{n+1} e^{ax}f(x)dx = \int_0^1 e^{a(t+n)}f(t+n)dt $$

となります。ここで、$f(x)$ は周期 $1$ の周期関数であるため、任意の整数 $n$ に対して $f(t+n) = f(t)$ が成り立ちます。これを代入して計算を進めると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 e^{a(t+n)}f(t+n)dt &= \int_0^1 e^{at}e^{an}f(t)dt \\ &= e^{an} \int_0^1 e^{at}f(t)dt \end{aligned} $$

となります。積分変数を $x$ に戻し、$p = \int_0^1 e^{ax}f(x)dx$ を用いると、求める定積分は

$$ e^{an}p $$

となります。

(2)

積分区間 $[0, n]$ を幅 $1$ の区間に分割します。

$$ \int_0^n e^{ax}f(x)dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} e^{ax}f(x)dx $$

(1) と同様の計算により、任意の非負整数 $k$ に対して $\int_k^{k+1} e^{ax}f(x)dx = e^{ak}p$ が成り立ちます。したがって、

$$ \int_0^n e^{ax}f(x)dx = \sum_{k=0}^{n-1} e^{ak}p $$

となります。ここで、等比数列の和を計算するために、公比 $e^a$ が $1$ かどうか、すなわち $a=0$ か $a \neq 0$ かで場合分けを行います。

(i) $a = 0$ のとき

$e^a = 1$ であるから、

$$ \sum_{k=0}^{n-1} 1^k \cdot p = np $$

となります。

(ii) $a \neq 0$ のとき

$e^a \neq 1$ であるから、初項 $p$、公比 $e^a$、項数 $n$ の等比数列の和の公式を用いて、

$$ \sum_{k=0}^{n-1} p(e^a)^k = p \frac{1 - (e^a)^n}{1 - e^a} = p \frac{1 - e^{an}}{1 - e^a} $$

となります。

(3)

求める極限は、$a = -1$ としたときの (2) の結果を利用します。 $a = -1 \neq 0$ であるため、(2) の (ii) の結果を用いると、

$$ \int_0^n e^{-x}f(x)dx = p \frac{1 - e^{-n}}{1 - e^{-1}} $$

となります。 $n \to \infty$ のとき $e^{-n} \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} \int_0^n e^{-x}f(x)dx = \frac{p}{1 - e^{-1}} $$

となります。次に、$a = -1$ のときの $p$ の値を計算します。 $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲において、絶対値の中身の正負で区間を分けます。

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき、$x - \frac{1}{2} \leqq 0$ より、

$$ f(x) = -\left(-x + \frac{1}{2}\right) + \frac{3}{2} = x + 1 $$

$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき、$x - \frac{1}{2} \geqq 0$ より、

$$ f(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right) + \frac{3}{2} = -x + 2 $$

となります。これを用いて $p = \int_0^1 e^{-x}f(x)dx$ を計算します。

$$ p = \int_0^{1/2} e^{-x}(x+1)dx + \int_{1/2}^1 e^{-x}(-x+2)dx $$

それぞれを部分積分法を用いて計算します。

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/2} e^{-x}(x+1)dx &= \left[ -e^{-x}(x+1) \right]_0^{1/2} - \int_0^{1/2} -e^{-x} \cdot 1 dx \\ &= \left[ -e^{-x}(x+1) - e^{-x} \right]_0^{1/2} \\ &= \left[ -e^{-x}(x+2) \right]_0^{1/2} \\ &= -e^{-1/2} \left( \frac{1}{2} + 2 \right) - (-e^0 \cdot 2) \\ &= 2 - \frac{5}{2}e^{-1/2} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{1/2}^1 e^{-x}(-x+2)dx &= \left[ -e^{-x}(-x+2) \right]_{1/2}^1 - \int_{1/2}^1 -e^{-x} \cdot (-1) dx \\ &= \left[ e^{-x}(x-2) - e^{-x} \right]_{1/2}^1 \\ &= \left[ e^{-x}(x-3) \right]_{1/2}^1 \\ &= e^{-1} (1-3) - e^{-1/2} \left( \frac{1}{2} - 3 \right) \\ &= -2e^{-1} + \frac{5}{2}e^{-1/2} \end{aligned} $$

これらを足し合わせると、

$$ p = \left( 2 - \frac{5}{2}e^{-1/2} \right) + \left( -2e^{-1} + \frac{5}{2}e^{-1/2} \right) = 2 - 2e^{-1} = 2(1 - e^{-1}) $$

となります。これを先ほどの極限の式に代入すると、

$$ \lim_{n \to \infty} \int_0^n e^{-x}f(x)dx = \frac{2(1 - e^{-1})}{1 - e^{-1}} = 2 $$

となります。

解説

周期関数の積分と等比数列の和を組み合わせた、国公立大学の理系数学などで頻出のテーマです。 (2) で等比数列の和の公式を使う際に、公比である $e^a$ が $1$ になるかどうかの確認（すなわち $a=0$ の場合分け）を怠ると減点対象になるため、文字を含む公比を扱う際は常に注意が必要です。 (3) では、絶対値を含む関数を適切に場合分けして積分区間を分割し、部分積分を正確に実行する計算力が問われています。極限の計算を先に行ってから $p$ の値を代入することで、計算の見通しが良くなります。