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東北大学 2013年理系第4問解説

方針・初手

$b_n$ では被積分関数に $\cos \theta$ が付いているので，$u=\sin \theta$ と置くとただちに積分できる形になる。

また，区間 $-\dfrac{\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}$ では $\cos \theta$ の値域が簡単に押さえられるので，これを用いて $a_n$ と $b_n$ を比較する。最後はその評価と $b_n$ の明示式からはさみうちを行えばよい。

解法1

まず

$$ b_n=\int_{-\pi/6}^{\pi/6} e^{n\sin\theta}\cos\theta,d\theta $$

において，$u=\sin\theta$ と置くと $du=\cos\theta,d\theta$ であり，積分区間は

$$ \theta=-\frac{\pi}{6}\ \Rightarrow\ u=-\frac12,\qquad \theta=\frac{\pi}{6}\ \Rightarrow\ u=\frac12 $$

となる。したがって

$$ b_n=\int_{-1/2}^{1/2} e^{nu},du =\left[\frac1n e^{nu}\right]_{-1/2}^{1/2} =\frac{e^{n/2}-e^{-n/2}}{n}. $$

よって（1）の答えは

$$ b_n=\frac{e^{n/2}-e^{-n/2}}{n} $$

である。

次に（2）を示す。区間 $-\dfrac{\pi}{6}\le \theta\le \dfrac{\pi}{6}$ では

$$ \frac{\sqrt3}{2}\le \cos\theta \le 1 $$

が成り立つ。$e^{n\sin\theta}>0$ であるから，両辺にこれを掛けて

$$ e^{n\sin\theta}\cos\theta \le e^{n\sin\theta} \le \frac{2}{\sqrt3}e^{n\sin\theta}\cos\theta $$

を得る。これを $-\dfrac{\pi}{6}$ から $\dfrac{\pi}{6}$ まで積分すると

$$ \int_{-\pi/6}^{\pi/6} e^{n\sin\theta}\cos\theta,d\theta \le \int_{-\pi/6}^{\pi/6} e^{n\sin\theta},d\theta \le \frac{2}{\sqrt3} \int_{-\pi/6}^{\pi/6} e^{n\sin\theta}\cos\theta,d\theta. $$

すなわち

$$ b_n\le a_n\le \frac{2}{\sqrt3}b_n $$

がすべての $n$ について成り立つ。

最後に（3）を求める。上の不等式に $n$ を掛けると

$$ nb_n\le na_n\le \frac{2}{\sqrt3}nb_n $$

である。ここで（1）より

$$ nb_n=e^{n/2}-e^{-n/2} =e^{n/2}(1-e^{-n}) $$

であるから，

$$ \log(nb_n)=\frac n2+\log(1-e^{-n}) $$

となる。したがって

$$ \frac1n\log(nb_n) ================= \frac12+\frac1n\log(1-e^{-n}) \to \frac12 \qquad (n\to\infty). $$

また，

$$ \frac1n\log(na_n) \le \frac1n\log!\left(\frac{2}{\sqrt3}nb_n\right) ============================================= \frac1n\log(nb_n)+\frac1n\log!\frac{2}{\sqrt3} $$

であり，右辺は $n\to\infty$ で $\dfrac12$ に収束する。一方，

$$ \frac1n\log(na_n)\ge \frac1n\log(nb_n)\to \frac12 $$

である。よってはさみうちより

$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\log(na_n)=\frac12 $$

である。

解説

この問題の要点は，$b_n$ の積分が $u=\sin\theta$ によってそのまま指数関数の積分になる点である。ここで一般項を明示できる。

さらに $a_n$ と $b_n$ の差は $\cos\theta$ の有無だけであり，しかも積分区間が $[-\pi/6,\pi/6]$ なので $\cos\theta$ は $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 以上 $1$ 以下に収まる。したがって両者は定数倍の範囲で比較でき，極限も同じ指数的増大率をもつことが分かる。