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大阪大学 2020年文系第2問解説

方針・初手

点A, B, Cの状態の推移を考え、確率漸化式を立てるのが定石である。各試行において、時計回り、反時計回りに移動する確率、および移動しない確率をそれぞれ求める。また、初期位置がAであり、時計回りと反時計回りに移動する確率が等しいことから生じる、点Bと点Cに関する対称性（点Bにいる確率と点Cにいる確率が常に等しい）を利用すると、未知数を減らしてスムーズに漸化式を導出できる。

解法1

(1)

1回のさいころ投げにおいて、点Qの移動とその確率は以下の通りである。

時計回りに隣（A $\to$ B, B $\to$ C, C $\to$ A）に移動する確率は $\frac{1}{6}$
反時計回りに隣（A $\to$ C, C $\to$ B, B $\to$ A）に移動する確率は $\frac{1}{6}$
移動しない（現在の点にとどまる）確率は $1 - \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \right) = \frac{2}{3}$

点QがAから出発し、2回さいころを投げたあとにAに位置するのは、以下の3つの場合であり、これらは互いに排反である。

（$\text{i}$） A $\to$ A $\to$ A と推移する場合 2回とも移動しない場合であり、その確率は

$$ \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} $$

（$\text{ii}$） A $\to$ B $\to$ A と推移する場合 1回目に時計回りに移動し、2回目に反時計回りに移動する場合であり、その確率は

$$ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $$

（$\text{iii}$） A $\to$ C $\to$ A と推移する場合 1回目に反時計回りに移動し、2回目に時計回りに移動する場合であり、その確率は

$$ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $$

以上より、求める確率 $p_2$ は

$$ p_2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{16}{36} + \frac{2}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $$

(2)

さいころを $n$ 回投げたあとに点QがB, Cに位置する確率をそれぞれ $q_n, r_n$ とする。点Qは常にA, B, Cのいずれかに位置するため、

$$ p_n + q_n + r_n = 1 $$

が成り立つ。

$n+1$ 回投げたあとに点QがAに位置するのは、次のいずれかの場合であり、これらは互いに排反である。

$n$ 回目にAにいて、移動しない（確率 $\frac{2}{3}$）
$n$ 回目にBにいて、反時計回りに移動する（確率 $\frac{1}{6}$）
$n$ 回目にCにいて、時計回りに移動する（確率 $\frac{1}{6}$）

したがって、次の関係式が成り立つ。

$$ p_{n+1} = \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{6}q_n + \frac{1}{6}r_n $$

これを変形すると、

$$ p_{n+1} = \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{6}(q_n + r_n) $$

となる。ここで、$q_n + r_n = 1 - p_n$ であるから、これを代入して

$$ p_{n+1} = \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{6}(1 - p_n) = \frac{1}{2}p_n + \frac{1}{6} $$

よって、求める関係式は

$$ p_{n+1} = \frac{1}{2}p_n + \frac{1}{6} $$

(3)

(2)で求めた漸化式

$$ p_{n+1} = \frac{1}{2}p_n + \frac{1}{6} $$

を特性方程式 $\alpha = \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{6}$（すなわち $\alpha = \frac{1}{3}$）を用いて変形すると、

$$ p_{n+1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \left( p_n - \frac{1}{3} \right) $$

となる。

また、1回投げたあとにAにいる確率は、最初にAから移動しない確率であるから

$$ p_1 = \frac{2}{3} $$

である。

したがって、数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{3} \right\}$ は、初項が

$$ p_1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $$

であり、公比が $\frac{1}{2}$ の等比数列である。ゆえに、一般項は

$$ p_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

となる。

よって、求める確率 $p_n$ は

$$ p_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

解説

確率漸化式の非常に標準的で典型的な問題である。状態の推移確率を正確に把握し、前回の状態から次の状態がどのように決まるかを立式する力が問われている。

本問では、A以外の状態である「Bにいる確率」と「Cにいる確率」をそれぞれ文字でおいて考えるのが基本だが、A以外の確率の和が $1 - p_n$ になることを利用すれば、直ちに $p_n$ のみの漸化式に帰着できる。この操作はマルコフ連鎖などの確率推移問題において非常によく用いられる手法であるため、確実に習得しておきたい。