東北大学 1964年 文系 第4問 解説

方針・初手

$z\neq 0$ であるから、各式はまず $z$ を掛けて分母を払うのが自然である。

すると、(2) では $z\bar z=|z|^2$ を用いて $z$ が実数であることが分かり、(3) では $|z|^2$ だけの方程式に落ちる。したがって、複素数そのものを直接追うよりも、$z\bar z$ や $|z|^2$ を使って整理するのが要点である。

解法1

(1)

与式 $$ z+1-\frac{a}{z}=0 $$ に $z$ を掛けると

$$ z^2+z-a=0 $$

を得る。したがって、$z$ は二次方程式の解であり

$$ z=\frac{-1\pm\sqrt{1+4a}}{2} $$

である。

ただし、もとの条件は $z\neq 0$ である。実際、$a=0$ のとき上の2解は $0,-1$ となるが、$z=0$ はもとの式では許されない。よって $a=0$ のときは $z=-1$ のみである。

(2)

与式 $$ \bar z+1-\frac{a}{z}=0 $$ に $z$ を掛けると

$$ z\bar z+z-a=0 $$

すなわち

$$ |z|^2+z-a=0 $$

となる。ここで $|z|^2$ と $a$ は実数であるから、

$$ z=a-|z|^2 $$

より $z$ は実数である。

そこで $z=x$（$x\in\mathbb{R},\ x\neq 0$）とおくと、$\bar z=z=x$ であるから、与式は

$$ x+1-\frac{a}{x}=0 $$

となる。これに $x$ を掛けて

$$ x^2+x-a=0 $$

を得る。実数解 $x$ が存在するための条件は判別式より

$$ 1+4a\geq 0 $$

すなわち

$$ a\geq -\frac14 $$

である。

なお、$a=0$ のときは解が $x=0,-1$ となるが、$x=0$ は不適であり、$x=-1$ が使えるので問題ない。したがって求める範囲は

$$ a\geq -\frac14 $$

である。

(3)

与式 $$ z(\bar z)^2+\bar z-\frac{a}{z}=0 $$ に $z$ を掛けると

$$ z^2(\bar z)^2+z\bar z-a=0 $$

となる。ここで

$$ z^2(\bar z)^2=(z\bar z)^2=|z|^4,\qquad z\bar z=|z|^2 $$

であるから、

$$ |z|^4+|z|^2-a=0 $$

を得る。

ここで

$$ t=|z|^2 $$

とおくと、$z\neq 0$ より

$$ t>0 $$

であり、方程式は

$$ t^2+t-a=0 $$

となる。したがって

$$ a=t^2+t $$

である。$t>0$ なので

$$ a>0 $$

が必要である。

逆に $a>0$ なら、二次方程式 $$ t^2+t-a=0 $$ の正の解

$$ t=\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2} $$

が存在する。よって $|z|^2=t$ を満たす複素数 $z$ は存在する。たとえば $z=\sqrt t$ とすればよい。

したがって求める範囲は

$$ a>0 $$

である。

解説

この問題の要点は、複素数をそのまま扱うのではなく、$z\bar z=|z|^2$ を使って実数条件に落とすことである。

(2) では $|z|^2+z-a=0$ から $z$ 自身が実数であることが直ちに分かる。この見抜きができれば、あとは実数の二次方程式になる。

(3) では $z$ を掛けると $z^2(\bar z)^2$ が $(z\bar z)^2=|z|^4$ に変わるため、複素数の偏角は消えて、$|z|^2$ だけの問題になる。存在条件を問われているので、最後は $t=|z|^2>0$ という条件を忘れないことが重要である。

答え

(1)

$$ z=\frac{-1\pm\sqrt{1+4a}}{2} $$

ただし $a=0$ のときは $z=0$ を除き、$z=-1$ のみ。

(2)

$$ a\geq -\frac14 $$

(3)

$$ a>0 $$