東北大学 1964年 文系 第5問 解説

方針・初手

与えられた複雑な式を簡単にするために、まずは根号の中にある $\sin 3x \sin^3 x + \cos 3x \cos^3 x$ の変形から手を付ける。ここでは3倍角の公式を利用して式を整理し、$\cos 2x$ のみの式を導き出すことを目標とする。その後、$\cos 2x$ を $\tan x$ で表す公式を用いて、与えられた $\tan x$ の条件式を代入していく。

解法1

まず、与式の根号の中にある式を変形する。3倍角の公式

$$ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $$

$$ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $$

より、$\sin^3 x$ と $\cos^3 x$ について解くと

$$ \sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4} $$

$$ \cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4} $$

となる。これらを与えられた根号の中の式に代入すると、

$$ \sin 3x \sin^3 x + \cos 3x \cos^3 x = \sin 3x \cdot \frac{3\sin x - \sin 3x}{4} + \cos 3x \cdot \frac{3\cos x + \cos 3x}{4} $$

$$ = \frac{1}{4} \{ 3(\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x) + (\cos^2 3x - \sin^2 3x) \} $$

加法定理 $\cos(\theta_1 - \theta_2) = \cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2$ と、2倍角の公式 $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ を用いると、

$$ = \frac{1}{4} \{ 3\cos(3x - x) + \cos(2 \cdot 3x) \} $$

$$ = \frac{1}{4} ( 3\cos 2x + \cos 6x ) $$

ここで、$\cos 6x = \cos(3 \cdot 2x) = 4\cos^3 2x - 3\cos 2x$ （3倍角の公式）を用いると、

$$ = \frac{1}{4} \{ 3\cos 2x + (4\cos^3 2x - 3\cos 2x) \} $$

$$ = \cos^3 2x $$

となる。したがって、与えられた式の根号を外すと

$$ \sqrt[3]{\sin 3x \sin^3 x + \cos 3x \cos^3 x} = \sqrt[3]{\cos^3 2x} = \cos 2x $$

となる。

次に、$\cos 2x$ を与えられた条件を用いて変形する。$\cos 2x$ は $\tan x$ を用いて次のように表される。

$$ \cos 2x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} $$

条件より $\tan x = \sqrt{\tan \alpha \cdot \tan \beta}$ であるから、$\tan^2 x = \tan \alpha \cdot \tan \beta$ を代入すると、

$$ \cos 2x = \frac{1 - \tan \alpha \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $$

ここで、$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ 、$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$ を代入して分母分子に $\cos \alpha \cos \beta$ を掛けると、

$$ \cos 2x = \frac{1 - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{1 + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} $$

$$ = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta} $$

加法定理より、分子は $\cos(\alpha + \beta)$ 、分母は $\cos(\alpha - \beta)$ となるため、

$$ \cos 2x = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $$

となる。 なお、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ 、$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ より $-\frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$ であるため、$\cos(\alpha - \beta) > 0$ であり分母が $0$ になることはない。

解法2

根号の中身について、直接3倍角の公式を代入して整理する方針をとる。

$$ \sin 3x \sin^3 x + \cos 3x \cos^3 x = (3\sin x - 4\sin^3 x)\sin^3 x + (4\cos^3 x - 3\cos x)\cos^3 x $$

$$ = 3\sin^4 x - 4\sin^6 x + 4\cos^6 x - 3\cos^4 x $$

$$ = 4(\cos^6 x - \sin^6 x) - 3(\cos^4 x - \sin^4 x) $$

ここで因数分解を用いる。

$$ \cos^6 x - \sin^6 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) $$

$$ = \cos 2x \{ (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - \cos^2 x \sin^2 x \} $$

$$ = \cos 2x \left( 1 - \frac{1}{4} \sin^2 2x \right) $$

また、

$$ \cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x $$

これらを代入すると、

$$ 4(\cos^6 x - \sin^6 x) - 3(\cos^4 x - \sin^4 x) = 4 \cos 2x \left( 1 - \frac{1}{4} \sin^2 2x \right) - 3 \cos 2x $$

$$ = \cos 2x (4 - \sin^2 2x - 3) $$

$$ = \cos 2x (1 - \sin^2 2x) $$

$$ = \cos 2x \cos^2 2x = \cos^3 2x $$

以後の計算は解法1と同様である。

解説

本問は、三角関数の複雑な式をいかに簡潔にまとめるかが問われている。根号内の式変形では、3倍角の公式をそのまま適用する（解法2）のも有効だが、$\sin^3 x$ や $\cos^3 x$ を1次式に次数下げする（解法1）ことで、高次式を扱う手間が省け、計算の見通しが格段に良くなる。

また後半で用いた、$\cos 2x$ を $\tan x$ で表す式 $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ は、積分計算などでもよく用いる重要な公式であるため、いつでも導出できるようにしておきたい。

答え

$$ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $$