東北大学 1970年 文系 第3問 解説

方針・初手

$a_n(r,\theta)=r^n\cos n\theta$ であるから、まず各式の $\cos n\theta$ を具体的に簡単化する。

すると、（1） は数列の極限、（2） と （3） は等比級数として判定できる。特に、級数の収束判定では「一般項が $0$ に近づくか」と「等比級数の公比の絶対値が $1$ 未満か」を見るのが基本である。

解法1

(1)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n(r,\pi)$

$\cos n\pi = (-1)^n$ であるから、

$$ a_n(r,\pi)=r^n(-1)^n $$

となる。

したがって、絶対値は

$$ |a_n(r,\pi)|=r^n $$

である。

ここで、$r$ は正の実数なので、場合分けすると

(i)

$0<r<1$ のとき

$$ r^n\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

であるから、

$$ a_n(r,\pi)\to 0 $$

となる。

(ii)

$r=1$ のとき

$$ a_n(1,\pi)=(-1)^n $$

となり、$-1,1,-1,1,\dots$ と振動して極限をもたない。

(iii)

$r>1$ のとき

$$ |a_n(r,\pi)|=r^n\to\infty $$

であるから、収束しない。

よって、

$$ \lim_{n\to\infty} a_n(r,\pi)= \begin{cases} 0 & (0<r<1)\\ \text{発散} & (r\ge 1) \end{cases} $$

である。

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(2)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(r,\frac{\pi}{2}\right)$

$\cos \dfrac{n\pi}{2}$ は

$$ 0,-1,0,1,0,-1,\dots $$

と周期的に変化する。したがって奇数番目はすべて $0$ であり、$n=2m$ とおくと

$$ a_{2m}\left(r,\frac{\pi}{2}\right) =(-1)^m r^{2m} $$

となる。

よって、この級数は

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(r,\frac{\pi}{2}\right) =\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m r^{2m} =\sum_{m=1}^{\infty} (-r^2)^m $$

となり、公比 $-r^2$ の等比級数である。

したがって、収束条件は

$$ |-r^2|<1 \iff r^2<1 \iff 0<r<1 $$

である。

このとき和は

$$ \sum_{m=1}^{\infty} (-r^2)^m =-\frac{r^2}{1+r^2} $$

となる。

一方、$r\ge 1$ のときは公比の絶対値が $1$ 以上であるから発散する。

よって、

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(r,\frac{\pi}{2}\right)= \begin{cases} -\dfrac{r^2}{1+r^2} & (0<r<1)\\ \text{発散} & (r\ge 1) \end{cases} $$

である。

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(3)

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} {a_1(1,\theta)}^k$

まず

$$ a_1(1,\theta)=1\cdot \cos\theta=\cos\theta $$

であるから、

$$ \sum_{k=1}^{\infty} {a_1(1,\theta)}^k =\sum_{k=1}^{\infty} (\cos\theta)^k $$

となる。これは公比 $\cos\theta$ の等比級数である。

よって収束条件は

$$ |\cos\theta|<1 $$

である。これは $\theta$ が $\pi$ の整数倍でないことと同値である。

このとき和は

$$ \sum_{k=1}^{\infty} (\cos\theta)^k =\frac{\cos\theta}{1-\cos\theta} $$

となる。

一方、$\theta=m\pi\ (m=1,2,3,\dots)$ のときは $\cos\theta=\pm1$ となるので、

• $\cos\theta=1$ なら $1+1+1+\cdots$
• $\cos\theta=-1$ なら $-1+1-1+\cdots$

となり、いずれも発散である。

したがって、

$$ \sum_{k=1}^{\infty} {a_1(1,\theta)}^k= \begin{cases} \dfrac{\cos\theta}{1-\cos\theta} & (|\cos\theta|<1)\\ \text{発散} & (\theta=m\pi,\ m=1,2,3,\dots) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の要点は、三角関数の部分を具体化してから、数列や等比級数に落とし込むことである。

（1） では $\cos n\pi=(-1)^n$ により符号が交互に変わるが、収束を決める本質は $r^n$ の大きさである。

（2） では $\cos \dfrac{n\pi}{2}$ の周期性により奇数項が消え、偶数項だけを見ると等比級数になる。

（3） では $a_1(1,\theta)$ をまず計算し、それを公比とする等比級数として判定する。等比級数は公比の絶対値が $1$ 未満のときに限り収束する、という基本事項をそのまま用いればよい。

答え

$$ \text{(1)}\quad \lim_{n\to\infty} a_n(r,\pi)= \begin{cases} 0 & (0<r<1)\\ \text{発散} & (r\ge 1) \end{cases} $$

$$ \text{(2)}\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(r,\frac{\pi}{2}\right)= \begin{cases} -\dfrac{r^2}{1+r^2} & (0<r<1)\\ \text{発散} & (r\ge 1) \end{cases} $$

$$ \text{(3)}\quad \sum_{k=1}^{\infty} {a_1(1,\theta)}^k= \begin{cases} \dfrac{\cos\theta}{1-\cos\theta} & (|\cos\theta|<1)\\ \text{発散} & (\theta=m\pi,\ m=1,2,3,\dots) \end{cases} $$