東北大学 1984年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた行列をそのまま用いて写像 $f$ を成分表示すると、像の点 $(X,Y)$ が満たす関係式がすぐに見える。まずそれによって像が乗る直線 $l$ を求める。

次に、回転 $g$ の行列を用いて合成写像 $f\circ g$ の式を具体的に求めれば、$P(a,b)$ にうつる点全体は連立方程式として処理できる。

解法1

$f$ を表す行列を

$$ A=\begin{pmatrix} \frac34 & \frac{\sqrt3}{4}[2mm] \frac{\sqrt3}{4} & \frac14 \end{pmatrix} $$

とする。点 $(x,y)$ の $f$ による像を $(X,Y)$ とすると、

$$ \begin{pmatrix} X\ Y \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \frac34 & \frac{\sqrt3}{4}[2mm] \frac{\sqrt3}{4} & \frac14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \frac34x+\frac{\sqrt3}{4}y[2mm] \frac{\sqrt3}{4}x+\frac14y \end{pmatrix} $$

である。

（1） 直線 $l$ の方程式

上の式から

$$ X=\frac34x+\frac{\sqrt3}{4}y,\qquad Y=\frac{\sqrt3}{4}x+\frac14y $$

であるから、

$$ \sqrt3,Y ======== # \sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{4}x+\frac14y\right) # \frac34x+\frac{\sqrt3}{4}y X $$

となる。したがって、$f$ による像はすべて

$$ X=\sqrt3,Y $$

を満たす。

よって、像が乗る直線 $l$ は

$$ l:\ x=\sqrt3,y $$

である。すなわち

$$ l:\ y=\frac{x}{\sqrt3} $$

である。

（2） $f\circ g$ によって $P(a,b)$ にうつされる点全体

原点のまわりに $-\dfrac{\pi}{3}$ 回転する一次変換 $g$ の行列は

$$ R= \begin{pmatrix} \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) & -\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)[2mm] \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) & \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}[2mm] -\frac{\sqrt3}{2} & \frac12 \end{pmatrix} $$

である。

したがって、合成写像 $f\circ g$ を表す行列は $AR$ であり、

$$ AR == \begin{pmatrix} \frac34 & \frac{\sqrt3}{4}[2mm] \frac{\sqrt3}{4} & \frac14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2}[2mm] -\frac{\sqrt3}{2} & \frac12 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\sqrt3}{2}[2mm] 0 & \frac12 \end{pmatrix} $$

となる。

よって、任意の点 $(x,y)$ の像は

$$ (f\circ g)(x,y) =============== \begin{pmatrix} 0 & \frac{\sqrt3}{2}[2mm] 0 & \frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2}y[2mm] \frac12 y \end{pmatrix} $$

である。

ここで $P(a,b)$ は $l$ 上の点であるから、

$$ a=\sqrt3,b $$

を満たす。

$f\circ g$ によって $(x,y)$ が $P(a,b)$ にうつるための条件は

$$ \frac{\sqrt3}{2}y=a,\qquad \frac12 y=b $$

である。後式から

$$ y=2b $$

となる。また $a=\sqrt3 b$ より前式とも一致する。

したがって、$P(a,b)$ にうつされる点全体は、$x$ が任意で $y=2b$ を満たす点全体である。ゆえに求める図形は

$$ y=2b $$

という直線である。

解説

$f$ の行列は階数 $1$ であり、実際に像の成分 $(X,Y)$ に対して常に $X=\sqrt3 Y$ が成り立つので、像は一直線上に潰れる。これが （1） の本質である。

（2） では、合成写像を行列で直接計算すると $x$ の成分が消え、像が $y$ のみによって決まる形になる。したがって、ある一点 $P(a,b)$ にうつる点全体は、$y$ を固定した直線になる。核に平行な直線が逆像になると見てもよい。

答え

$$ \text{(1)}\quad l:\ x=\sqrt3\,y \quad\left(\text{すなわち } y=\frac{x}{\sqrt3}\right) $$

$$ \text{(2)}\quad P(a,b)\in l \text{ に対し、 } f\circ g \text{ によって } P(a,b) \text{ にうつされる点全体は} $$

$$ y=2b $$

で表される直線である。