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東京大学 1977年理系第5問解説

方針・初手

与えられた関係式 $A(I - tJ) = I + tJ$ において、$ I - tJ $ が正則である（逆行列をもつ）ことを確認し、$ A = (I + tJ)(I - tJ)^{-1} $ として行列 $A$ を求める。その後、$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $ の関係から $x, y$ を $t$ で表し、$ t $ を消去して軌跡を求めるか、$ t = \tan\frac{\theta}{2} $ の置換や行列 $A$ の性質（回転行列との類似性）を利用する。

解法1

$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $, $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ より、

$$ I - tJ = \begin{pmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{pmatrix} $$

行列 $I - tJ$ の行列式は $1 \cdot 1 - t \cdot (-t) = 1 + t^2$ である。$ t $ は実数であるから $1 + t^2 \neq 0$ となり、$ I - tJ $ は逆行列をもつ。その逆行列は、

$$ (I - tJ)^{-1} = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1+t^2}(I + tJ) $$

関係式 $A(I - tJ) = I + tJ$ の両辺に右から $(I - tJ)^{-1}$ を掛けると、

$$ A = (I + tJ)(I - tJ)^{-1} = \frac{1}{1+t^2} (I + tJ)^2 $$

ここで、$ J^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $ であるから、

$$ (I + tJ)^2 = I^2 + 2tJ + t^2J^2 = I + 2tJ - t^2I = (1 - t^2)I + 2tJ $$

したがって、

$$ A = \frac{1}{1+t^2} \left\{ (1 - t^2)I + 2tJ \right\} = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} 1 - t^2 & -2t \\ 2t & 1 - t^2 \end{pmatrix} $$

これより、各成分は次のように表される。

$$ a = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad b = -\frac{2t}{1+t^2}, \quad c = \frac{2t}{1+t^2}, \quad d = \frac{1-t^2}{1+t^2} $$

次に、$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $ について考える。 $ X = \frac{1-t^2}{1+t^2} $, $Y = \frac{2t}{1+t^2}$ とおくと、

$$ X^2 + Y^2 = \frac{(1-t^2)^2 + (2t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 1 $$

また、$ X = -1 $ とすると $1 - t^2 = -(1 + t^2)$ より $2 = 0$ となり矛盾するため、$ X \neq -1 $ である。逆に、$ X^2 + Y^2 = 1 $ かつ $X \neq -1$ を満たす任意の実数 $X, Y$ に対し、$ t = \frac{Y}{X+1} $ とすれば実数 $t$ が存在し、対応がつく。よって、$ (X, Y) $ は単位円周上の点から点 $(-1, 0)$ を除いた図形全体を動く。

このとき、$ A = \begin{pmatrix} X & -Y \\ Y & X \end{pmatrix} $ と書けるので、

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X & -Y \\ Y & X \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3X - 4Y \\ 4X + 3Y \end{pmatrix} $$

すなわち、$ x = 3X - 4Y $, $y = 4X + 3Y$ である。これらをそれぞれ2乗して足し合わせると、

$$ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= (3X - 4Y)^2 + (4X + 3Y)^2 \\ &= (9X^2 - 24XY + 16Y^2) + (16X^2 + 24XY + 9Y^2) \\ &= 25(X^2 + Y^2) \end{aligned} $$

$X^2 + Y^2 = 1$ であるから、$ x^2 + y^2 = 25 $ となる。さらに、除外点 $(X, Y) = (-1, 0)$ に対応する $(x, y)$ を求めると、

$$ x = 3(-1) - 4 \cdot 0 = -3, \quad y = 4(-1) + 3 \cdot 0 = -4 $$

ゆえに、点 $(x, y)$ が動いてできる図形は、原点を中心とする半径 $5$ の円であり、点 $(-3, -4)$ を除く。

解法2

成分の比較によって行列 $A$ を求める。

$$ A(I - tJ) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - bt & at + b \\ c - dt & ct + d \end{pmatrix} $$

一方、右辺は

$$ I + tJ = \begin{pmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{pmatrix} $$

両辺の成分を比較して、次の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} a - bt = 1 \\ at + b = -t \\ c - dt = t \\ ct + d = 1 \end{cases} $$

第1式より $ a = 1 + bt $。これを第2式に代入すると、

$$ (1 + bt)t + b = -t $$

$$ t + bt^2 + b = -t $$

$$ b(1 + t^2) = -2t $$

$t$ は実数より $1 + t^2 \neq 0$ であるから、$ b = -\frac{2t}{1+t^2} $ となる。これを $a = 1 + bt$ に代入して、

$$ a = 1 - \frac{2t^2}{1+t^2} = \frac{1-t^2}{1+t^2} $$

同様に、第4式より $ d = 1 - ct $。これを第3式に代入すると、

$$ c - (1 - ct)t = t $$

$$ c - t + ct^2 = t $$

$$ c(1 + t^2) = 2t $$

よって $c = \frac{2t}{1+t^2}$ となり、これを $d = 1 - ct$ に代入して、

$$ d = 1 - \frac{2t^2}{1+t^2} = \frac{1-t^2}{1+t^2} $$

後半について、$ t = \tan\frac{\theta}{2} $ （ただし $ -\pi < \theta < \pi $）と置換する。三角関数の倍角公式と半角公式の変形により、

$$ \cos\theta = \cos^2\frac{\theta}{2} - \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $$

$$ \sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2t}{1 + t^2} $$

したがって、行列 $A$ は原点周りの角 $\theta$ の回転を表す行列となる。

$$ A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

関係式 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ より、点 $(x, y)$ は点 $(3, 4)$ を原点を中心に角 $\theta$ だけ回転した点である。 $t$ が実数全体を動くとき、$ \theta $ は $-\pi < \theta < \pi$ の範囲を動く。点 $(3, 4)$ は原点からの距離が $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ であるため、回転した先の点 $(x, y)$ は円 $x^2 + y^2 = 25$ 上を動く。ただし、$ \theta = \pi $ のときの点は除外される。この除外点は点 $(3, 4)$ を $\pi$ 回転した点、すなわち $(-3, -4)$ である。

解説

行列方程式 $A(I - tJ) = I + tJ$ の解法と、媒介変数 $t$ で表された点の軌跡を求める問題である。行列 $I, J$ は複素数の実部と虚部（$ 1 $と$ i $）に対応する構造を持っており、$ I^2 = I $, $J^2 = -I$ となる性質は複素数の演算と完全に同型である。これを意識すると、行列の累乗や逆行列の計算が非常に見通しよくなる。

軌跡については、$ \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right) $ が単位円上の点（ただし $(-1, 0)$ を除く）をパラメータ表示するおなじみの形であることに気づけるかが鍵となる。解法1のように $X, Y$ とおいて代数的に処理する方法と、解法2のように $t = \tan\frac{\theta}{2}$ とおいて幾何学的な回転として捉える方法がある。どちらも重要なので習熟しておきたい。