東北大学 1989年 理系 第2問 解説

方針・初手

行列 $A$ をそのまま眺めるよりも、回転と拡大縮小の合成として分解するのが最も本質的である。

実際、

$$ A= \begin{pmatrix} \cos^2\theta & -\sin\theta\cos\theta\ \sin\theta\cos\theta & \cos^2\theta \end{pmatrix} ============= \cos\theta \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

であるから、$f$ は「原点中心に角 $\theta$ だけ回転した後、$\cos\theta$ 倍に縮小する変換」である。

したがって、円 $C$ の像 $C_1$ も円になり、中心は中心の像、半径は $\cos\theta$ 倍になる。この見方で (1) を処理し、その後 (2) では中心間距離と半径の和を比較すればよい。

解法1

(1)

円 $C$ の中心を $G=(2,0)$、半径を $r$ とすると、

$$ r=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} $$

である。

ここで

$$ A=\cos\theta \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

より、$f$ は「回転 $+$ $\cos\theta$ 倍の拡大縮小」である。

回転は距離を保ち、さらに $\cos\theta$ 倍の拡大縮小は距離を $\cos\theta$ 倍にする。よって、円 $C$ 上の任意の点 $P$ に対し、その像を $P'$ とすると

$$ |P'G'|=\cos\theta,|PG| $$

が成り立つ。ただし $G'=f(G)$ である。

$P$ は円 $C$ 上にあるから常に $|PG|=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ であり、

$$ |P'G'|=\cos\theta\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\cos\theta}{\sqrt{3}} $$

は一定である。したがって、$C_1$ は中心 $G'$、半径 $\dfrac{2\cos\theta}{\sqrt{3}}$ の円である。

次に中心 $G'$ を求める。

$$ G'=f(2,0) ========= \begin{pmatrix} \cos^2\theta & -\sin\theta\cos\theta\ \sin\theta\cos\theta & \cos^2\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\ 0 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 2\cos^2\theta\ 2\sin\theta\cos\theta \end{pmatrix} $$

よって、$C_1$ の中心は

$$ \left(2\cos^2\theta,\ 2\sin\theta\cos\theta\right) $$

半径は

$$ \frac{2\cos\theta}{\sqrt{3}} $$

である。

(2)

円 $C$ の中心を $G=(2,0)$、円 $C_1$ の中心を

$$ G_1=\left(2\cos^2\theta,\ 2\sin\theta\cos\theta\right) $$

とする。

まず中心間距離を求める。

$$ \overrightarrow{GG_1} ===================== # \left(2\cos^2\theta-2,\ 2\sin\theta\cos\theta\right) \left(-2\sin^2\theta,\ 2\sin\theta\cos\theta\right) $$

したがって、

$$ \begin{aligned} |GG_1| &= \sqrt{(-2\sin^2\theta)^2+(2\sin\theta\cos\theta)^2}\ &= 2\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}\ &= 2\sin\theta \end{aligned} $$

である。

また、2つの円の半径はそれぞれ

$$ \frac{2}{\sqrt{3}},\qquad \frac{2\cos\theta}{\sqrt{3}} $$

である。

2円 $C,\ C_1$ が外接する条件は

$$ |GG_1|=\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2\cos\theta}{\sqrt{3}} $$

であるから、

$$ 2\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}(1+\cos\theta) $$

すなわち

$$ \sqrt{3}\sin\theta=1+\cos\theta $$

を得る。

ここで半角公式を用いると、

$$ \sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2},\qquad 1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2} $$

なので、

$$ \sqrt{3}\cdot 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} ======================================================= 2\cos^2\frac{\theta}{2} $$

となる。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos\dfrac{\theta}{2}>0$ だから、両辺を $2\cos\dfrac{\theta}{2}$ で割って

$$ \sqrt{3}\sin\frac{\theta}{2}=\cos\frac{\theta}{2} $$

すなわち

$$ \tan\frac{\theta}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

を得る。

$0<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{4}$ であるから、

$$ \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{6} $$

よって

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

解説

この問題の核は、行列 $A$ を

$$ A=\cos\theta,R(\theta) $$

と見ることである。ここで $R(\theta)$ は回転行列である。これに気づけば、像 $C_1$ が円であることは計算で押し切る必要がなく、幾何的に直ちに分かる。

また、外接条件も方程式を無理に立てるのではなく、「中心間距離 $=$ 半径の和」という円の基本条件に落とすのが自然である。中心の移動量が $2\sin\theta$ に簡単化される点も見落としやすい。

答え

円 $C_1$ は円であり、その中心は

$$ \left(2\cos^2\theta,\ 2\sin\theta\cos\theta\right) $$

半径は

$$ \frac{2\cos\theta}{\sqrt{3}} $$

である。

また、$C$ と $C_1$ が外接するような $\theta$ は

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。