東北大学 1988年 文系 第3問 解説

方針・初手

曲線 $xy=1$ 上の点は $y=\dfrac{1}{x}\ (x\neq 0)$ とおける。したがって、線形変換 $$(X,Y)=(ax+by,\ cx+dy)$$ が $xy=1$ 上のすべての点を $X^2-Y^2=2$ 上へうつす条件は、

$$ (ax+b/x)^2-(cx+d/x)^2=2 $$

がすべての $x\neq 0$ で成り立つことに言い換えられる。これを恒等式として比較すればよい。

解法1

(1)

$(x,y)$ が $xy=1$ を満たすとする。$y=\dfrac{1}{x}$ とおくと、像 $(X,Y)$ は

$$ X=ax+\frac{b}{x},\qquad Y=cx+\frac{d}{x} $$

である。

これが曲線 $X^2-Y^2=2$ 上にあるから、

$$ \left(ax+\frac{b}{x}\right)^2-\left(cx+\frac{d}{x}\right)^2=2 $$

が $x\neq 0$ のすべてで成り立つ。展開すると

$$ (a^2-c^2)x^2+2(ab-cd)+(b^2-d^2)\frac{1}{x^2}=2 $$

となるので、恒等式比較により

$$ a^2-c^2=0,\qquad b^2-d^2=0,\qquad ab-cd=1 $$

を得る。

前二式より

$$ c=\pm a,\qquad d=\pm b $$

である。

ここで場合分けする。

(i) $c=a$ のとき

このとき $ab-cd=ab-ad=a(b-d)=1$ である。

また $d=\pm b$ であるが、$d=b$ なら左辺は $0$ となって不可能である。したがって $d=-b$ であり、

$$ a(b-(-b))=2ab=1 $$

より

$$ b=\frac{1}{2a},\qquad c=a,\qquad d=-\frac{1}{2a} $$

である。

(ii) $c=-a$ のとき

このとき $ab-cd=ab+ad=a(b+d)=1$ である。

また $d=\pm b$ であるが、$d=-b$ なら左辺は $0$ となって不可能である。したがって $d=b$ であり、

$$ a(b+b)=2ab=1 $$

より

$$ b=\frac{1}{2a},\qquad c=-a,\qquad d=\frac{1}{2a} $$

である。

よって求める $A$ は

$$ A= \begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2a}\ a & -\dfrac{1}{2a} \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A= \begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2a}\ -a & \dfrac{1}{2a} \end{pmatrix} \qquad (a\neq 0) $$

である。

まとめて書けば、

$$ A= \begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2a}\\ \varepsilon a & -\dfrac{\varepsilon}{2a} \end{pmatrix} \qquad (a\neq 0,\ \varepsilon=\pm 1) $$

である。

(2)

(1) の結果より

$$ A= \begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2a}\ \varepsilon a & -\dfrac{\varepsilon}{2a} \end{pmatrix} \qquad (a\neq 0,\ \varepsilon=\pm 1) $$

とおける。

このとき

$$ \det A =a\left(-\frac{\varepsilon}{2a}\right)-\frac{1}{2a}\cdot \varepsilon a =-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2} =-\varepsilon \neq 0 $$

であるから、

$$ A^{-1} ====== \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2a} & \dfrac{\varepsilon}{2a}\ a & -\varepsilon a \end{pmatrix} $$

となる。

さらに、この逆変換も $xy=1$ 上のすべての点を $x^2-y^2=2$ 上の点にうつすので、$A^{-1}$ も (1) と同じ条件を満たす。したがって、$A^{-1}$ の成分を $(u,v,w,z)$ とすると

$$ u^2-w^2=0,\qquad v^2-z^2=0,\qquad uv-wz=1 $$

である。

ここで

$$ u=\frac{1}{2a},\qquad v=\frac{\varepsilon}{2a},\qquad w=a,\qquad z=-\varepsilon a $$

を代入すると、

$$ u^2-w^2=\frac{1}{4a^2}-a^2=0 $$

より

$$ 4a^4=1 $$

を得る。実数範囲では

$$ a^2=\frac{1}{2} $$

である。

さらに

$$ uv-wz ===== # \frac{\varepsilon}{4a^2}+\varepsilon a^2 \varepsilon\left(\frac{1}{4a^2}+a^2\right) =1 $$

に $a^2=\dfrac{1}{2}$ を代入すると

$$ \varepsilon\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=\varepsilon=1 $$

となる。

よって

$$ \varepsilon=1,\qquad a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

であり、

$$ A= \begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2a}\ a & -\dfrac{1}{2a} \end{pmatrix} $$

に代入すると

$$ A= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1&1\ 1&-1 \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A= -\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1&1\ 1&-1 \end{pmatrix} $$

である。

解説

この問題の要点は、「曲線上のすべての点」という条件を、媒介変数 $y=\dfrac{1}{x}$ を用いて恒等式の問題に落とすことである。すると $x^2$ の係数、定数項、$x^{-2}$ の係数を比較するだけで条件が出る。

(2) では、逆行列も同じ性質をもつという条件が強い制約になっており、(1) で得た一般形を逆行列にして再び同じ条件を課すことで、最終的に行列が 2 個に絞られる。

答え

(1)

$$ A= \begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2a}\ a & -\dfrac{1}{2a} \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A= \begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2a}\ -a & \dfrac{1}{2a} \end{pmatrix} \qquad (a\neq 0) $$

すなわち

$$ A= \begin{pmatrix} a & \dfrac{1}{2a}\ \varepsilon a & -\dfrac{\varepsilon}{2a} \end{pmatrix} \qquad (a\neq 0,\ \varepsilon=\pm 1) $$

である。

(2)

$$ A= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} $$

である。