東北大学 1994年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) 与えられた条件式 $B = 3A^{-1}$ の両辺に左から行列 $A$ を掛け、$AB = 3E$ （$E$ は単位行列）の形にしてから成分比較を行います。ここで得られた連立方程式から $\theta, a, b$ を求めます。条件 $ab \geqq 0$ と $A$ が逆行列をもつことに注意します。

(2) (1) で求めた $A$ の成分を具体的に用いて、点 $(x, y)$ の移る先 $(X, Y)$ を計算し、$x^2 + y^2 = 1$ との関係式を導きます。また、行列 $B$ と $A$ の関係に気づけば、転置行列の性質を用いて計算をショートカットすることもできます。

解法1

(1)

行列 $A$ は逆行列をもつので、$B = 3A^{-1}$ の両辺に左から $A$ を掛けると、$AB = 3E$ が成り立つ。$E$ は単位行列である。

$$ AB = \begin{pmatrix} \sqrt{2}\sin\theta & 2\cos\theta \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2}\sin\theta & a \\ 2\cos\theta & b \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} 2\sin^2\theta + 4\cos^2\theta & \sqrt{2}a\sin\theta + 2b\cos\theta \\ \sqrt{2}a\sin\theta + 2b\cos\theta & a^2 + b^2 \end{pmatrix} $$

これが $3E = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ と等しいので、両辺の成分を比較して次の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} 2\sin^2\theta + 4\cos^2\theta = 3 \\ \sqrt{2}a\sin\theta + 2b\cos\theta = 0 \\ a^2 + b^2 = 3 \end{cases} $$

第1式において $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いると、

$$ 2(1 - \cos^2\theta) + 4\cos^2\theta = 3 $$

$$ 2\cos^2\theta = 1 $$

$$ \cos^2\theta = \frac{1}{2} $$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲では $\sin\theta \geqq 0$ であり、$\sin^2\theta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ より $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。また、$\cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。

(i) $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

第2式に代入すると、

$$ a + \sqrt{2}b = 0 $$

よって $a = -\sqrt{2}b$ となる。 これを条件 $ab \geqq 0$ に代入すると、$-\sqrt{2}b^2 \geqq 0$ となり、これを満たす実数 $b$ は $b = 0$ のみである。 このとき $a = 0$ となるが、これは第3式 $a^2 + b^2 = 3$ を満たさないため不適である。

(ii) $\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

第2式に代入すると、

$$ a - \sqrt{2}b = 0 $$

よって $a = \sqrt{2}b$ となる。 これを条件 $ab \geqq 0$ に代入すると、$\sqrt{2}b^2 \geqq 0$ となり、これはすべての実数 $b$ に対して成り立つ。 第3式に $a = \sqrt{2}b$ を代入すると、

$$ (\sqrt{2}b)^2 + b^2 = 3 $$

$$ 3b^2 = 3 $$

$$ b^2 = 1 $$

よって $b = \pm 1$ を得る。

$b = 1$ のとき、$a = \sqrt{2}$ である。このとき、

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} $$

行列式を計算すると $|A| = 1 \cdot 1 - (-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 3 \neq 0$ となり、逆行列をもつ条件を満たす。

$b = -1$ のとき、$a = -\sqrt{2}$ である。このとき、

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & -1 \end{pmatrix} $$

行列式を計算すると $|A| = 1 \cdot (-1) - (-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) = -3 \neq 0$ となり、こちらも逆行列をもつ条件を満たす。

(2)

1次変換 $A$ により、円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(x, y)$ が 点 $(X, Y)$ に移るとする。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

(ア) $A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}$ のとき

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - \sqrt{2}y \\ \sqrt{2}x + y \end{pmatrix} $$

$X$ と $Y$ のそれぞれの平方の和を計算すると、

$$ X^2 + Y^2 = (x - \sqrt{2}y)^2 + (\sqrt{2}x + y)^2 $$

$$ = (x^2 - 2\sqrt{2}xy + 2y^2) + (2x^2 + 2\sqrt{2}xy + y^2) $$

$$ = 3x^2 + 3y^2 $$

$$ = 3(x^2 + y^2) $$

点 $(x, y)$ は $x^2 + y^2 = 1$ を満たすので、$X^2 + Y^2 = 3$ が得られる。

(イ) $A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}$ のとき

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - \sqrt{2}y \\ -\sqrt{2}x - y \end{pmatrix} $$

同様に平方の和を計算すると、

$$ X^2 + Y^2 = (x - \sqrt{2}y)^2 + (-\sqrt{2}x - y)^2 $$

$$ = (x^2 - 2\sqrt{2}xy + 2y^2) + (2x^2 + 2\sqrt{2}xy + y^2) $$

$$ = 3(x^2 + y^2) $$

点 $(x, y)$ は $x^2 + y^2 = 1$ を満たすので、同じく $X^2 + Y^2 = 3$ が得られる。

行列 $A$ はいずれの場合も逆行列をもつため、この1次変換は全単射である。したがって、求める図形は原点を中心とする半径 $\sqrt{3}$ の円全体となる。

解法2

(2)の別解：転置行列を利用した解法

行列 $B$ の成分を見ると、行列 $A$ の行と列を入れ替えた転置行列 $A^T$ に等しいことが分かる。すなわち $B = A^T$ である。

与えられた条件 $B = 3A^{-1}$ より、

$$ A^T = 3A^{-1} $$

両辺に右から行列 $A$ を掛けると、

$$ A^T A = 3E $$

1次変換 $A$ により点 $(x, y)$ が 点 $(X, Y)$ に移るとき、原点からの距離の2乗は次のように計算できる。

$$ X^2 + Y^2 = \begin{pmatrix} X & Y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} $$

$$ = \left\{ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right\}^T A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} A^T A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

これに $A^T A = 3E$ を代入すると、

$$ X^2 + Y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ = 3(x^2 + y^2) $$

点 $(x, y)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上を動くので、$x^2 + y^2 = 1$ を代入して、

$$ X^2 + Y^2 = 3 $$

行列 $A$ は逆行列をもつため、変換は全単射である。よって移る図形は円であり、その方程式は $x^2 + y^2 = 3$ である。

解説

• (1) について、行列の等式から成分比較に持ち込む典型的な流れです。三角方程式を解く際や、条件 $ab \geqq 0$ を用いて不要な解を捨てる際に、符号の吟味を慎重に行う必要があります。
• (2) について、解法1のように成分ごとの計算でも十分に解けますが、解法2のように「2つの行列が転置の関係にあること」に気づくと、内積や距離の保存に関する行列の性質（直交行列の定数倍）を利用でき、計算を劇的に短縮することができます。

答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}$

(2) 原点を中心とする半径 $\sqrt{3}$ の円, $x^2 + y^2 = 3$