東北大学 2000年 文系 第3問 解説

方針・初手

絶対値の中身

$$ x^2-3x+1,\quad x^2-1,\quad 2x-1 $$

の符号が変わる点で場合分けして、各区間で絶対値を外して解く。

それぞれの符号が変わる点は

$$ x^2-3x+1=0 \iff x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}, $$

$$ x^2-1=0 \iff x=\pm1, $$

$$ 2x-1=0 \iff x=\frac12 $$

である。したがって、

$$ -1,\ \frac{3-\sqrt5}{2},\ \frac12,\ 1,\ \frac{3+\sqrt5}{2} $$

で区間を分ければよい。

解法1

与えられた不等式を

$$ |x^2-3x+1|>|x^2-1|-|2x-1| $$

とする。

以下、

$$ \alpha=\frac{3-\sqrt5}{2},\quad \beta=\frac{3+\sqrt5}{2} $$

とおく。

（i） $x<-1$

このとき

$$ x^2-3x+1>0,\quad x^2-1>0,\quad 2x-1<0 $$

であるから、

$$ |x^2-3x+1|=x^2-3x+1, $$

$$ |x^2-1|=x^2-1,\quad |2x-1|=1-2x $$

となる。したがって

$$ x^2-3x+1>(x^2-1)-(1-2x) $$

すなわち

$$ x^2-3x+1>x^2+2x-2 $$

であり、

$$ -5x>-3 \iff x<\frac35 $$

を得る。これは $x<-1$ では常に成り立つ。

よって、この区間では

$$ x<-1 $$

が解である。

（ii） $-1\le x<\alpha$

このとき

$$ x^2-3x+1>0,\quad x^2-1\le0,\quad 2x-1<0 $$

より

$$ |x^2-3x+1|=x^2-3x+1, $$

$$ |x^2-1|=1-x^2,\quad |2x-1|=1-2x $$

である。したがって

$$ x^2-3x+1>(1-x^2)-(1-2x) $$

すなわち

$$ x^2-3x+1>-x^2+2x $$

であり、

$$ 2x^2-5x+1>0 $$

を得る。この2次方程式の解は

$$ x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4} $$

であるから、

$$ 2x^2-5x+1>0 \iff x<\frac{5-\sqrt{17}}{4}\ \text{または}\ x>\frac{5+\sqrt{17}}{4} $$

となる。ここで $-1\le x<\alpha$ に限れば

$$ -1\le x<\frac{5-\sqrt{17}}{4} $$

が解である。

（iii） $\alpha\le x<\dfrac12$

このとき

$$ x^2-3x+1\le0,\quad x^2-1<0,\quad 2x-1<0 $$

より

$$ |x^2-3x+1|=-x^2+3x-1, $$

$$ |x^2-1|=1-x^2,\quad |2x-1|=1-2x $$

である。したがって

$$ -x^2+3x-1>(1-x^2)-(1-2x) $$

すなわち

$$ -x^2+3x-1>-x^2+2x $$

であり、

$$ x>1 $$

となる。これは $\alpha\le x<\dfrac12$ では不可能である。

よって、この区間に解はない。

（iv） $\dfrac12\le x<1$

このとき

$$ x^2-3x+1\le0,\quad x^2-1<0,\quad 2x-1\ge0 $$

より

$$ |x^2-3x+1|=-x^2+3x-1, $$

$$ |x^2-1|=1-x^2,\quad |2x-1|=2x-1 $$

である。したがって

$$ -x^2+3x-1>(1-x^2)-(2x-1) $$

すなわち

$$ -x^2+3x-1>2-x^2-2x $$

であり、

$$ 5x>3 \iff x>\frac35 $$

を得る。したがって、この区間での解は

$$ \frac35<x<1 $$

である。

（v） $1\le x<\beta$

このとき

$$ x^2-3x+1\le0,\quad x^2-1\ge0,\quad 2x-1\ge0 $$

より

$$ |x^2-3x+1|=-x^2+3x-1, $$

$$ |x^2-1|=x^2-1,\quad |2x-1|=2x-1 $$

である。したがって

$$ -x^2+3x-1>(x^2-1)-(2x-1) $$

すなわち

$$ -x^2+3x-1>x^2-2x $$

であり、

$$ 2x^2-5x+1<0 $$

を得る。よって

$$ \frac{5-\sqrt{17}}{4}<x<\frac{5+\sqrt{17}}{4} $$

であるが、$1\le x<\beta$ に限れば

$$ 1\le x<\frac{5+\sqrt{17}}{4} $$

が解である。

（vi） $x\ge\beta$

このとき

$$ x^2-3x+1\ge0,\quad x^2-1\ge0,\quad 2x-1\ge0 $$

より

$$ x^2-3x+1>(x^2-1)-(2x-1) $$

すなわち

$$ x^2-3x+1>x^2-2x $$

であり、

$$ 1>x $$

となる。これは $x\ge\beta$ では不可能である。

よって、この区間に解はない。

以上をまとめると、

$$ x<\frac{5-\sqrt{17}}{4} \quad \text{または} \quad \frac35<x<\frac{5+\sqrt{17}}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は、絶対値を外すための区切りを正しく作ることである。区切るべき点は、各絶対値の中身が $0$ になる点であり、途中で現れる2次不等式の解ではない。

また、区間ごとに計算すると、最後は1次不等式または2次不等式に落ちる。計算自体は難しくないので、符号判定を丁寧に行うことが重要である。

答え

$$ x<\frac{5-\sqrt{17}}{4} \quad \text{または} \quad \frac35<x<\frac{5+\sqrt{17}}{4} $$