東北大学 2000年 文系 第2問 解説

方針・初手

複素数の等式が $0$ になるためには、実部と虚部がそれぞれ $0$ でなければならない。

そこで、与えられた式の実部・虚部を分け、実数 $a,b$ が存在する条件を調べる。

解法1

与えられた等式は

$$ x^2+(i-2)x+2ab+\left(\frac{b}{2}-2a\right)i=0 $$

である。

$x,a,b$ は実数であるから、実部と虚部を整理すると

$$ \left(x^2-2x+2ab\right)+\left(x+\frac{b}{2}-2a\right)i=0 $$

となる。

したがって、

$$ \begin{cases} x^2-2x+2ab=0 \\ x+\dfrac{b}{2}-2a=0 \end{cases} $$

を満たす実数 $a,b$ が存在すればよい。

虚部の式から

$$ b=4a-2x $$

である。これを実部の式に代入すると

$$ x^2-2x+2a(4a-2x)=0 $$

すなわち

$$ 8a^2-4ax+x^2-2x=0 $$

を得る。

これは $a$ についての2次方程式である。実数解 $a$ が存在するための必要十分条件は判別式が $0$ 以上であることであるから、

$$ (-4x)^2-4\cdot 8\cdot (x^2-2x)\geqq 0 $$

すなわち

$$ 16x^2-32x^2+64x\geqq 0 $$

より

$$ 16x(4-x)\geqq 0 $$

となる。

よって

$$ x(4-x)\geqq 0 $$

であり、

$$ 0\leqq x\leqq 4 $$

を得る。

以上より、求める $x$ の範囲は

$$ 0\leqq x\leqq 4 $$

である。

解説

複素数の方程式では、まず実部と虚部を分けるのが基本である。

その後は、連立条件を満たす実数 $a,b$ が存在するかどうかを「2次方程式が実数解をもつ条件」に帰着させればよい。この問題では、虚部の式で $b$ を消去して $a$ の2次方程式にするのが最も素直である。

答え

$$ 0\leqq x\leqq 4 $$