東北大学 2002年 文系 第3問 解説

方針・初手

$B$ を「止まらずに通りすぎる」ためには，サイコロの $1$ による「右に2区画進む」を使って，$B$ をまたぐ必要がある。

図より，$B$ は右へ3，上へ1の格子点である。したがって，$6$ 回目に $B$ を通りすぎるためには，$5$ 回目終了時点で $(2,1)$ にいて，$6$ 回目に $1$ を出して $(4,1)$ に進む以外にない。

よって，求める確率は

• $5$ 回目終了時点で $(2,1)$ にいる
• $6$ 回目に $1$ を出す
• $7$ 回目から $n$ 回目までの間に少なくとも1回 $3$ を出して $C$ に到達する

の3つを掛け合わせればよい。

解法1

$A$ を $(0,0)$，$B$ を $(3,1)$，$C$ を $(4,2)$ とする。

1. 5回目終了時点で $(2,1)$ にいる確率

$(2,1)$ にいるためには，

• 上に1回進む必要があるので，最初の5回のうち $3$ がちょうど1回
• 右への移動量の合計がちょうど $2$

でなければならない。

右への移動量が $2$ になるのは，次の2通りである。

(i) $1$ が1回，$2$ が0回

このとき残り3回は $4,5,6$ のいずれかであるから，並び方は

$$ 5 \cdot 4 \cdot 3^3 $$

通りである。

(ii) $1$ が0回，$2$ が2回

このとき残り2回は $4,5,6$ のいずれかであるから，並び方は

$$ 5 \cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2} \cdot 3^2 $$

通りである。

したがって，条件を満たす並びの総数は

$$ 5 \cdot 4 \cdot 3^3 + 5 \cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2} \cdot 3^2 = 540 + 270 = 810 $$

通りである。

よって，

$$ P(\text{5回目終了時点で }(2,1)\text{ にいる}) = \frac{810}{6^5} = \frac{5}{48} $$

である。

2. 6回目に $B$ を通りすぎる確率

$5$ 回目終了時点で $(2,1)$ にいれば，$6$ 回目に $1$ を出したときだけ

$$ (2,1)\to(4,1) $$

と進み，途中で $B=(3,1)$ を通る。しかも $B$ には止まらない。

したがって，

$$ P(\text{6回目に }B\text{ を止まらずに通りすぎる}\mid \text{5回目終了時点で }(2,1)) = \frac{1}{6} $$

である。

3. その後 $n$ 回目までに $C$ に到達する確率

$6$ 回目終了時点では $(4,1)$ にいる。ここは右端であるから，その後は

• $1,2$ では動かない
• $3$ が出たときに $(4,2)=C$ に上がる
• $4,5,6$ でも動かない

したがって，$7$ 回目から $n$ 回目までの $n-6$ 回のうち，少なくとも1回 $3$ が出ればよい。

その確率は

$$ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-6} $$

である。

4. 求める確率

以上より，求める確率は

$$ \frac{5}{48}\cdot \frac{1}{6}\cdot \left{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-6}\right} $$

すなわち，

$$ \boxed{\frac{5}{288}\left{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-6}\right}} $$

である。

解説

この問題の要点は，「$B$ を通りすぎる」という条件を，$6$ 回目直前の位置に言い換えることである。右に2区画進む場合にしか「通りすぎる」は起こらないので，$5$ 回目終了時点の位置が一意に定まる。

そこまで整理できれば，あとは最初の5回で必要な

• 上方向の移動回数
• 右方向の移動量

を数え上げるだけである。後半も，$(4,1)$ に着いてからは $3$ が1回でも出ればよいから，余事象で処理すると簡潔である。

答え

$$ \boxed{\frac{5}{288}\left{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-6}\right}} $$