東北大学 2004年 文系 第4問 解説

方針・初手

3人での1回のじゃんけんを、まず次の3通りに分類する。

• その場で勝者が決まる
• 1人だけ負けて、次から2人になる
• あいこで、次も3人のまま

3人の出し方は全部で $3^3=27$ 通りであり、この3種類がそれぞれ何通りあるかを数えると、いずれも確率は $\frac13$ になる。

さらに、2人になってからのじゃんけんは普通のじゃんけんなので、

• 勝負がつく確率は $\frac23$
• あいこになる確率は $\frac13$

である。

したがって、「まだ勝者が決まっていないときに3人残っている状態」と「2人残っている状態」の2状態で考えるのが自然である。

解法1

まず、3人で1回じゃんけんをしたときの結果を数える。

3人とも同じ手を出すのは

$$ 3\text{通り} $$

3人が全員異なる手を出すのは

$$ 3!=6\text{通り} $$

であるから、あいこは合計

$$ 3+6=9\text{通り} $$

であり、その確率は

$$ \frac{9}{27}=\frac13 $$

である。

次に、1人が勝ってその場で終了するのは、例えば $(\text{グー},\text{チョキ},\text{チョキ})$ のように、1人だけが勝つ場合である。これは

$$ 9\text{通り} $$

あるので、確率は

$$ \frac{9}{27}=\frac13 $$

である。

残りの

$$ 27-9-9=9\text{通り} $$

は、1人だけが負けて2人残る場合であり、その確率も

$$ \frac13 $$

である。

ここで、$n$ 回目終了時点でまだ勝者が決まっておらず、

• 3人残っている確率を $x_n$
• 2人残っている確率を $y_n$

とおく。

初期状態では

$$ x_0=1,\qquad y_0=0 $$

である。

3人残りから次の1回を行うと、

• 確率 $\frac13$ で3人残りのまま
• 確率 $\frac13$ で2人残りへ移る
• 確率 $\frac13$ で終了

となる。

また、2人残りから次の1回を行うと、

• 確率 $\frac13$ で2人残りのまま
• 確率 $\frac23$ で終了

となる。

したがって、

$$ x_{n+1}=\frac13 x_n $$

$$ y_{n+1}=\frac13 x_n+\frac13 y_n $$

である。

まず $x_n$ はただちに

$$ x_n=\frac{1}{3^n} $$

となる。

次に $y_n$ を求める。上の式に $x_n=\frac{1}{3^n}$ を代入すると、

$$ y_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}+\frac13 y_n $$

である。ここで

$$ y_n=\frac{n}{3^n} $$

と予想して代入すると、

$$ y_{n+1} =\frac{1}{3^{n+1}}+\frac13\cdot \frac{n}{3^n} =\frac{1+n}{3^{n+1}} $$

となるので、確かに

$$ y_n=\frac{n}{3^n} $$

が成り立つ。

さて、$n$ 回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を $p_n$ とすると、$(n-1)$ 回終了時点で

• 3人残っていれば、次で決まる確率は $\frac13$
• 2人残っていれば、次で決まる確率は $\frac23$

だから、

$$ p_n=\frac13 x_{n-1}+\frac23 y_{n-1} $$

である。

ここに

$$ x_{n-1}=\frac{1}{3^{n-1}},\qquad y_{n-1}=\frac{n-1}{3^{n-1}} $$

を代入すると、

$$ p_n =\frac13\cdot \frac{1}{3^{n-1}}+\frac23\cdot \frac{n-1}{3^{n-1}} =\frac{1+2(n-1)}{3^n} =\frac{2n-1}{3^n} $$

よって、

$$ p_n=\frac{2n-1}{3^n} $$

である。

したがって各設問の答えは

(1)

$$ p_1=\frac{1}{3} $$

(2)

$$ p_2=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} $$

(3)

$$ p_3=\frac{5}{27} $$

(4)

$$ p_n=\frac{2n-1}{3^n}\qquad (n\ge 4) $$

となる。

解説

この問題の要点は、3人じゃんけんを細かく場合分けしすぎず、

• 3人残り
• 2人残り

の2状態だけで整理することである。

3人で1回行ったときに

• その場で終了
• 2人になる
• あいこで3人のまま

がそれぞれ確率 $\frac13$ になることを押さえると、その後は漸化式で一気に処理できる。

特に一般の $n$ 回目を求めるには、途中状態の確率 $x_n,\ y_n$ を導入するのが典型である。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac13,\qquad \text{(2)}\ \frac13,\qquad \text{(3)}\ \frac{5}{27},\qquad \text{(4)}\ \frac{2n-1}{3^n}\ (n\ge 4) $$