東北大学 2006年 文系 第2問 解説

方針・初手

選ばれた $3$ 個の数を小さい順に $Z<Y<X$ とみると、$1$ から $7$ までの並びの中で

• $Z$ の前にいくつ空きがあるか
• $Z$ と $Y$ の間にいくつ空きがあるか
• $Y$ と $X$ の間にいくつ空きがあるか
• $X$ の後にいくつ空きがあるか

を考えると対称性が使える。これにより期待値が一気に求まる。

解法1

次のようにおく。

$$ a=Z-1,\quad b=Y-Z-1,\quad c=X-Y-1,\quad d=7-X $$

すると $a,b,c,d$ はいずれも $0$ 以上の整数であり、

$$ a+b+c+d=4 $$

が成り立つ。

逆に、$a+b+c+d=4$ を満たす非負整数 $a,b,c,d$ が与えられれば、

$$ Z=a+1,\quad Y=a+b+2,\quad X=a+b+c+3 $$

と一意に復元できる。したがって、$1$ から $7$ までの中から異なる $3$ 個を選ぶことと、非負整数解 $(a,b,c,d)$ を $a+b+c+d=4$ のもとで一つ選ぶことは $1$ 対 $1$ に対応する。

しかも、どの $3$ 個の選び方も同様に確率は等しいので、対応する $(a,b,c,d)$ も等確率で現れる。

ここで、方程式

$$ a+b+c+d=4 $$

は $a,b,c,d$ の役割が完全に対称であるから、

$$ E[a]=E[b]=E[c]=E[d] $$

である。

また、

$$ E[a]+E[b]+E[c]+E[d]=E[a+b+c+d]=4 $$

より、

$$ E[a]=E[b]=E[c]=E[d]=1 $$

となる。

よって、

$$ E[Z]=E[a+1]=2 $$

$$ E[Y]=E[a+b+2]=1+1+2=4 $$

$$ E[X]=E[a+b+c+3]=1+1+1+3=6 $$

したがって、

$$ E[X]=6,\quad E[Y]=4,\quad E[Z]=2 $$

である。

解法2

まず全体の選び方は

$$ {}_{7}\mathrm{C}_{3}=35 $$

通りである。

$X$ の期待値

$X=k$ となるのは、最大が $k$ で、残り $2$ 個を $1,2,\dots,k-1$ から選ぶ場合である。したがって

$$ P(X=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{2}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}} \qquad (k=3,4,5,6,7) $$

である。

よって、

$$ E[X] =\frac{1}{35}\sum_{k=3}^{7} k{}_{k-1}\mathrm{C}_{2} $$

$$ =\frac{1}{35}\left( 3{}_{2}\mathrm{C}_{2}+4{}_{3}\mathrm{C}_{2}+5{}_{4}\mathrm{C}_{2}+6{}_{5}\mathrm{C}_{2}+7{}_{6}\mathrm{C}_{2} \right) $$

$$ =\frac{1}{35}(3+12+30+60+105) =\frac{210}{35} =6 $$

$Z$ の期待値

同様に、$Z=k$ となるのは、最小が $k$ で、残り $2$ 個を $k+1,k+2,\dots,7$ から選ぶ場合である。したがって

$$ P(Z=k)=\frac{{}_{7-k}\mathrm{C}_{2}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}} \qquad (k=1,2,3,4,5) $$

である。

よって、

$$ E[Z] =\frac{1}{35}\sum_{k=1}^{5} k{}_{7-k}\mathrm{C}_{2} $$

$$ =\frac{1}{35}\left( 1{}_{6}\mathrm{C}_{2}+2{}_{5}\mathrm{C}_{2}+3{}_{4}\mathrm{C}_{2}+4{}_{3}\mathrm{C}_{2}+5{}_{2}\mathrm{C}_{2} \right) $$

$$ =\frac{1}{35}(15+20+18+12+5) =\frac{70}{35} =2 $$

$Y$ の期待値

選ばれた $3$ 個の和の期待値を考える。

$1$ から $7$ までの平均は

$$ \frac{1+2+\cdots+7}{7}=4 $$

であるから、$3$ 個取り出した数の和の期待値は

$$ 4+4+4=12 $$

である。したがって

$$ E[X]+E[Y]+E[Z]=12 $$

より、

$$ E[Y]=12-6-2=4 $$

となる。

解説

この問題の本質は、順序統計量 $X,Y,Z$ をそのまま追うより、間の空き方に置き換えると対称性が見える点にある。解法1はその対称性を最も直接的に使う方法であり、計算量も少ない。

一方、解法2は最大値・最小値の分布を直接数え上げる標準的な方法である。こちらでも十分求められるが、中央の $Y$ は和の期待値を使うと簡潔に処理できる。

答え

$$ E[X]=6,\qquad E[Y]=4,\qquad E[Z]=2 $$