東北大学 2002年 理系 第3問 解説

方針・初手

図の格子状の道路において、A地点を原点 $(0,0)$ とし、右方向を $x$ 軸の正の向き、上方向を $y$ 軸の正の向きとする座標平面を設定する。全体は横3区画、縦3区画であるため、$x, y \in \{0, 1, 2, 3\}$ の格子点を移動すると考えられる。 図より、A地点は $(0,0)$、C地点は $(3,3)$、B地点は左から1区画、下から2区画の交点であるから $(1,2)$ と読み取れる。

サイコロを1回振ったときの移動は、座標 $(x,y)$ の変化として次のように定式化できる。

• 1の目（確率 $1/6$）: $x$ 座標が $+2$ される。ただし最大値は3であり、$x=2$ や $x=3$ にいる場合は $x=3$ で止まる。
• 2の目（確率 $1/6$）: $x$ 座標が $+1$ される。ただし最大値は3。
• 3の目（確率 $1/6$）: $y$ 座標が $+1$ される。ただし最大値は3。
• 4, 5, 6の目（確率 $3/6 = 1/2$）: 座標は変化しない。

「ちょうど6回目に、B地点以外の地点から進んでB地点に止まり、$n$回目までにC地点に到達する」という事象は、前半の6回までの移動と、後半の残り $n-6$ 回の移動が独立であるため、それぞれの確率を求めて掛け合わせればよい。また、端に到達するとその方向には動かなくなる性質（吸収壁）を持つため、「$n$回目までにCに到達する」という条件は「$n$回目の終了時点でCにいる」という条件と同値であることに着目する。

解法1

前半の事象を $E_1$、後半の事象を $E_2$ とする。

事象 $E_1$ は、「5回目終了時点で B $(1,2)$ 以外の地点にいて、6回目のサイコロで B $(1,2)$ に移動する」事象である。 6回目の1回の移動で $(1,2)$ に到達できる直前の位置 $(x_5, y_5)$ は以下のいずれかに限られる。

• $x$ 座標が $+1$ されて $(1,2)$ になる場合：$(x_5, y_5) = (0,2)$
• $y$ 座標が $+1$ されて $(1,2)$ になる場合：$(x_5, y_5) = (1,1)$
• $x$ 座標が $+2$ されて $(1,2)$ になる場合：$(x_5, y_5) = (-1,2)$ となるが、$x \ge 0$ より不適。
• 動かずに $(1,2)$ となる場合：「B以外の地点から」という条件に反するため不適。

したがって、5回目終了時点の座標は $(0,2)$ または $(1,1)$ に限定される。

(i) 5回目終了時点で $(0,2)$ にいて、6回目に2の目が出る確率 開始点 $(0,0)$ から5回で $(0,2)$ に到達するには、1と2の目は0回、3の目が2回、4, 5, 6の目が3回出ればよい。その確率は、

$$ \frac{5!}{2!3!} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{3}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{144} $$

6回目に2の目が出る確率は $1/6$ であるから、この経路の確率は、

$$ \frac{5}{144} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{864} $$

(ii) 5回目終了時点で $(1,1)$ にいて、6回目に3の目が出る確率 開始点 $(0,0)$ から5回で $(1,1)$ に到達するには、1の目は0回、2の目が1回、3の目が1回、4, 5, 6の目が3回出ればよい。その確率は、

$$ \frac{5!}{1!1!3!} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{3}{6}\right)^3 = 20 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{72} $$

6回目に3の目が出る確率は $1/6$ であるから、この経路の確率は、

$$ \frac{5}{72} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{432} $$

以上より、事象 $E_1$ の確率 $P(E_1)$ は、

$$ P(E_1) = \frac{5}{864} + \frac{5}{432} = \frac{15}{864} = \frac{5}{288} $$

次に、事象 $E_2$（残り $m = n-6$ 回で B $(1,2)$ から出発し C $(3,3)$ に到達する事象）の確率を求める。 一度端に到達するとその方向には動かなくなるため、$m$ 回目までに C $(3,3)$ に到達するという条件は、$m$ 回終了時点での座標 $(X_m, Y_m)$ が $(3,3)$ であることと同値である。 求める確率は $P(X_m = 3 \cap Y_m = 3)$ であり、余事象を用いて次のように計算する。

$$ P(X_m = 3 \cap Y_m = 3) = 1 - \{ P(X_m < 3) + P(Y_m < 3) - P(X_m < 3 \cap Y_m < 3) \} $$

初期位置は $(X_0, Y_0) = (1,2)$ である。

(ア) $P(X_m < 3)$ の計算 $X_m < 3$ となるのは、$X_m = 1$ または $X_m = 2$ の場合である。1の目が1回でも出ると即座に $X_m=3$ となるため、1の目は0回でなければならない。 $X_m = 1$（2の目が0回）の確率： $\left(1 - \frac{2}{6}\right)^m = \left(\frac{2}{3}\right)^m$ $X_m = 2$（2の目が1回）の確率： ${}_{m}\mathrm{C}_{1} \left(\frac{1}{6}\right) \left(\frac{4}{6}\right)^{m-1} = \frac{m}{4} \left(\frac{2}{3}\right)^m$ よって、

$$ P(X_m < 3) = \left(1 + \frac{m}{4}\right) \left(\frac{2}{3}\right)^m $$

(イ) $P(Y_m < 3)$ の計算 $Y_m < 3$ となるのは $Y_m = 2$ のみであり、3の目が1回も出ない確率である。

$$ P(Y_m < 3) = \left(1 - \frac{1}{6}\right)^m = \left(\frac{5}{6}\right)^m $$

(ウ) $P(X_m < 3 \cap Y_m < 3)$ の計算 $X_m \in \{1, 2\}$ かつ $Y_m = 2$ となるのは、3の目が0回、1の目が0回であり、2の目が0回または1回の場合である。 2の目が0回（すべて4, 5, 6の目）の確率： $\left(\frac{3}{6}\right)^m = \left(\frac{1}{2}\right)^m$ 2の目が1回（残りはすべて4, 5, 6の目）の確率： ${}_{m}\mathrm{C}_{1} \left(\frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{6}\right)^{m-1} = \frac{m}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^m$ よって、

$$ P(X_m < 3 \cap Y_m < 3) = \left(1 + \frac{m}{3}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^m $$

これらを代入し、$m = n-6$ と戻すと、事象 $E_2$ の確率 $P(E_2)$ は、

$$ P(E_2) = 1 - \frac{n-2}{4} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-6} - \left(\frac{5}{6}\right)^{n-6} + \frac{n-3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-6} $$

求める確率は $P(E_1) \times P(E_2)$ であるから、これを掛け合わせたものが最終的な答えとなる。

解説

2次元のランダムウォークにおいて、移動が $x$ 方向または $y$ 方向のいずれかに限られ、かつ「端」での挙動が吸収壁（それ以上進めず留まる）となっている点が特徴的な問題である。

後半の確率計算において、「$n$回目までに到達する」という表現に戸惑うかもしれないが、一度 C $(3,3)$ に到達すれば以後のサイコロで1, 2, 3が出ても壁に阻まれて動かず、4, 5, 6が出ても動かないため、「何回振っても C $(3,3)$ から移動しない」ことに気づけるかが大きな鍵となる。これにより、単なる「指定回数終了時点での状態確率」に帰着させることができる。

また、$X$ 座標と $Y$ 座標が独立に変化するわけではない（1回の試行を共有するため排反である）が、余事象 $X_m < 3$ と $Y_m < 3$ を考えることで、包除原理を用いて見通しよく計算することが可能となる。

答え

$$ \frac{5}{288} \left\{ 1 - \frac{n-2}{4} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-6} - \left(\frac{5}{6}\right)^{n-6} + \frac{n-3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-6} \right\} $$