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東北大学 2002年文系第4問解説

方針・初手

被積分関数の中身を展開し、平方完成を行うと $x^2 + 2x - t^2 + 2t = (x + 1)^2 - (t - 1)^2$ となります。積分区間が $-1 \leqq x \leqq 1$ であることに着目し、$y = x + 1$ と置換積分することで、区間が $0 \leqq y \leqq 2$ となり、被積分関数は $|y^2 - (t - 1)^2|$ というシンプルな形になります。あとは $t - 1 \geqq 0$ に注意して、$(t - 1)^2$ と $y^2$ の大小関係で場合分けをして絶対値を外し、積分を計算します。

解法1

被積分関数の絶対値の中身を $g(x)$ とおき、平方完成します。

$$g(x) = (x - t + 2)(x + t) = x^2 + 2x - t^2 + 2t = (x + 1)^2 - (t - 1)^2$$

したがって、与えられた関数は次のように表されます。

$$f(t) = \int_{-1}^{1} |(x + 1)^2 - (t - 1)^2| dx$$

ここで、$y = x + 1$ とおきます。 $dx = dy$ であり、積分区間は $x$ が $-1$ から $1$ まで変化するとき、$y$ は $0$ から $2$ まで変化します。

$$f(t) = \int_{0}^{2} |y^2 - (t - 1)^2| dy$$

$t \geqq 1$ より $t - 1 \geqq 0$ です。絶対値記号を外すため、区間 $0 \leqq y \leqq 2$ における $y$ と $t - 1$ の大小関係で場合分けをします。

(i) $0 \leqq t - 1 \leqq 2$ すなわち $1 \leqq t \leqq 3$ のとき

積分区間 $0 \leqq y \leqq 2$ 内に $y = t - 1$ が存在します。 $0 \leqq y \leqq t - 1$ のとき、$y^2 - (t - 1)^2 \leqq 0$ $t - 1 \leqq y \leqq 2$ のとき、$y^2 - (t - 1)^2 \geqq 0$ したがって、積分は次のように分割されます。

$$f(t) = \int_{0}^{t-1} \left\{ -(y^2 - (t - 1)^2) \right\} dy + \int_{t-1}^{2} \left\{ y^2 - (t - 1)^2 \right\} dy$$

それぞれ積分を計算します。

$$\int_{0}^{t-1} \left\{ (t - 1)^2 - y^2 \right\} dy = \left[ (t - 1)^2 y - \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{t-1} = (t - 1)^3 - \frac{1}{3}(t - 1)^3 = \frac{2}{3}(t - 1)^3$$

$$\int_{t-1}^{2} \left\{ y^2 - (t - 1)^2 \right\} dy = \left[ \frac{1}{3}y^3 - (t - 1)^2 y \right]_{t-1}^{2} = \left( \frac{8}{3} - 2(t - 1)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(t - 1)^3 - (t - 1)^3 \right) = \frac{8}{3} - 2(t - 1)^2 + \frac{2}{3}(t - 1)^3$$

これらを足し合わせて $f(t)$ を求めます。

$$f(t) = \frac{2}{3}(t - 1)^3 + \frac{8}{3} - 2(t - 1)^2 + \frac{2}{3}(t - 1)^3 = \frac{4}{3}(t - 1)^3 - 2(t - 1)^2 + \frac{8}{3}$$

この区間における $f(t)$ の増減を調べます。微分すると以下のようになります。

$$f'(t) = 4(t - 1)^2 - 4(t - 1) = 4(t - 1)(t - 2)$$

$1 < t < 3$ において $f'(t) = 0$ となるのは $t = 2$ のときです。

(ii) $t - 1 > 2$ すなわち $t > 3$ のとき

積分区間 $0 \leqq y \leqq 2$ において常に $y < t - 1$ となるため、$y^2 - (t - 1)^2 < 0$ です。したがって、積分は次のように計算できます。

$$f(t) = \int_{0}^{2} \left\{ (t - 1)^2 - y^2 \right\} dy = \left[ (t - 1)^2 y - \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{2} = 2(t - 1)^2 - \frac{8}{3}$$

$t > 3$ において、$t$ が増加すると $(t - 1)^2$ も増加するため、$f(t)$ は単調に増加します。

以上 (i), (ii) より、$t \geqq 1$ における $f(t)$ の増減表は次のようになります。

$t$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f'(t)$	$0$	$-$	$0$	$+$		$+$
$f(t)$	$\frac{8}{3}$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$\frac{16}{3}$	$\nearrow$

増減表から、関数 $f(t)$ は $t = 2$ で最小値をとることがわかります。そのときの最小値は、(i) の式に $t = 2$ を代入して求めます。

$$f(2) = \frac{4}{3}(2 - 1)^3 - 2(2 - 1)^2 + \frac{8}{3} = \frac{4}{3} - 2 + \frac{8}{3} = 4 - 2 = 2$$

解法2

置換積分を用いずに直接場合分けを行う方法です。

$$g(x) = (x - t + 2)(x + t) = x^2 + 2x - t(t - 2)$$

$g(x) = 0$ の解は $x = -t, t - 2$ です。 $t \geqq 1$ より $-t \leqq -1$ であるから、積分区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において常に $x \geqq -t$、すなわち $x + t \geqq 0$ となります。したがって、$f(t)$ の絶対値の処理において、$x + t$ は常に非負として扱うことができます。

$$f(t) = \int_{-1}^{1} (x + t)|x - t + 2| dx$$

絶対値を外すため、積分区間 $[-1, 1]$ における $x - t + 2$ の符号を調べます。 $x - t + 2 = 0$ となるのは $x = t - 2$ のときであり、$t \geqq 1$ より $t - 2 \geqq -1$ です。

(i) $t - 2 \leqq 1$ すなわち $1 \leqq t \leqq 3$ のとき

積分区間内に $x = t - 2$ が存在します。 $-1 \leqq x \leqq t - 2$ のとき、$x - t + 2 \leqq 0$ より $|x - t + 2| = -(x - t + 2)$ $t - 2 \leqq x \leqq 1$ のとき、$x - t + 2 \geqq 0$ より $|x - t + 2| = x - t + 2$

$$f(t) = \int_{-1}^{t-2} -(x + t)(x - t + 2) dx + \int_{t-2}^{1} (x + t)(x - t + 2) dx$$

ここで $g(x) = x^2 + 2x - t^2 + 2t$ の不定積分の一つを $G(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - (t^2 - 2t)x$ とします。

$$f(t) = - \left[ G(x) \right]_{-1}^{t-2} + \left[ G(x) \right]_{t-2}^{1} = G(1) + G(-1) - 2G(t - 2)$$

それぞれ代入して計算します。

$$G(1) = \frac{1}{3} + 1 - (t^2 - 2t) = -t^2 + 2t + \frac{4}{3}$$

$$G(-1) = -\frac{1}{3} + 1 + (t^2 - 2t) = t^2 - 2t + \frac{2}{3}$$

これらより $G(1) + G(-1) = 2$ となります。次に $G(t - 2)$ を計算します。

$$G(t - 2) = \frac{1}{3}(t - 2)^3 + (t - 2)^2 - t(t - 2)(t - 2) = (t - 2)^2 \left\{ \frac{1}{3}(t - 2) + 1 - t \right\} = (t - 2)^2 \left( -\frac{2}{3}t + \frac{1}{3} \right)$$

これを展開します。

$$G(t - 2) = \left( t^2 - 4t + 4 \right) \left( -\frac{2}{3}t + \frac{1}{3} \right) = -\frac{2}{3}t^3 + 3t^2 - 4t + \frac{4}{3}$$

よって、$f(t)$ は次のように求まります。

$$f(t) = 2 - 2 \left( -\frac{2}{3}t^3 + 3t^2 - 4t + \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}t^3 - 6t^2 + 8t - \frac{2}{3}$$

微分して増減を調べます。

$$f'(t) = 4t^2 - 12t + 8 = 4(t^2 - 3t + 2) = 4(t - 1)(t - 2)$$

$1 < t < 3$ において、$t = 2$ で極小となります。

(ii) $t - 2 > 1$ すなわち $t > 3$ のとき

積分区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において常に $x < t - 2$ となるため、$x - t + 2 < 0$ です。

$$f(t) = \int_{-1}^{1} -(x + t)(x - t + 2) dx = - \left[ G(x) \right]_{-1}^{1} = - \left( G(1) - G(-1) \right)$$

$$= - \left\{ -t^2 + 2t + \frac{4}{3} - \left( t^2 - 2t + \frac{2}{3} \right) \right\} = 2t^2 - 4t - \frac{2}{3}$$

微分すると $f'(t) = 4t - 4 = 4(t - 1)$ となり、$t > 3$ では常に正となるため単調増加です。

以上より、$t=2$ のときに最小値をとることがわかり、その値は以下の通りです。

$$f(2) = \frac{4}{3}(2^3) - 6(2^2) + 8(2) - \frac{2}{3} = \frac{32}{3} - 24 + 16 - \frac{2}{3} = \frac{30}{3} - 8 = 2$$

解説

絶対値を含む定積分からなる関数の最小値を求める問題です。被積分関数を平方完成し、$x+1 = y$ と平行移動（置換積分）することで、被積分関数が $|y^2 - a^2|$ という偶関数のベースとなる形になり、絶対値の処理と積分計算が大幅に簡略化されます。この「対称性を利用するための平行移動」は、積分の計算ミスを防ぎ、時間短縮を図るうえで非常に有効なテクニックです。そのまま積分する場合は、絶対値の中身を表す放物線の $x$ 切片が $x = -t, t-2$ であることを見抜き、積分区間との位置関係で場合分けをします。計算量は増えますが、標準的な絶対値積分の定石通りに進めれば正解にたどり着くことができます。