東北大学 1998年 理系 第3問 解説

方針・初手

印のついた面の位置は、各操作の後で

• 上面
• 側面
• 底面

の3通りに分類できる。

したがって、各状態から次の操作でどこへ移るかを整理すればよい。特に、印のついた面が側面にあるときは、倒す向きによって上面・底面・側面のいずれにもなりうるので、そこを正確に数えるのが初手である。

解法1

印のついた面が $n$ 回後に

• 側面にある確率を $a_n$
• 底面にある確率を $b_n$
• 上面にある確率を $c_n$

とおく。

もちろん

$$ a_n+b_n+c_n=1 $$

である。

状態の移り方

上面にあるとき

底面の4辺のどれを軸にして倒しても、上面は必ず側面へ移る。 したがって

$$ \text{上面} \to \text{側面} \quad (\text{確率 }1) $$

である。

底面にあるとき

同様に、底面にある面は1回倒せば必ず側面へ移る。 したがって

$$ \text{底面} \to \text{側面} \quad (\text{確率 }1) $$

である。

側面にあるとき

印のついた面を1つの側面とする。このとき、底面の4辺のうち

• その面側へ倒せば印の面は底面になる
• 反対側へ倒せば印の面は上面になる
• 残り2辺を軸に倒せば印の面は側面のままである

から、

$$ \text{側面} \to \begin{cases} \text{上面} & \text{確率 } \dfrac14,\\ \text{底面} & \text{確率 } \dfrac14,\\ \text{側面} & \text{確率 } \dfrac12 \end{cases} $$

となる。

（1） $a_2$ を求める

最初は印の面は上面にあるので、1回倒した後は必ず側面にある。すなわち

$$ a_1=1 $$

である。

次に、側面にある状態からもう1回倒したとき、引き続き側面にある確率は $\dfrac12$ であるから、

$$ a_2=\frac12 $$

である。

（2） $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式

上の遷移を用いると、

• $n$ 回後に上面にあるとき、次は必ず側面
• $n$ 回後に底面にあるとき、次も必ず側面
• $n$ 回後に側面にあるとき、次に側面にある確率は $\dfrac12$

であるから、

$$ a_{n+1}=c_n+b_n+\frac12 a_n $$

となる。

ここで $a_n+b_n+c_n=1$ より $b_n+c_n=1-a_n$ だから、

$$ a_{n+1}=1-a_n+\frac12 a_n =1-\frac12 a_n $$

したがって、求める関係式は

$$ a_{n+1}=1-\frac12 a_n \qquad (n\ge 1) $$

である。

（3） $b_n$ を $n$ の式で表し，$\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n$ を求める

まず $a_n$ を求める。

漸化式

$$ a_{n+1}=1-\frac12 a_n $$

の定常値を $a$ とすると

$$ a=1-\frac12 a $$

より

$$ a=\frac23 $$

である。

そこで

$$ x_n=a_n-\frac23 $$

とおくと、

$$ x_{n+1}=a_{n+1}-\frac23 =1-\frac12 a_n-\frac23 =-\frac12\left(a_n-\frac23\right) =-\frac12 x_n $$

となる。さらに $a_1=1$ より

$$ x_1=1-\frac23=\frac13 $$

だから、

$$ x_n=\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1} $$

すなわち

$$ a_n=\frac23+\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1} $$

である。

次に $b_n$ を求める。

側面から次に上面へ行く確率も底面へ行く確率もともに $\dfrac14$ であり、上面・底面からはどちらも次に側面へ移る。したがって $n\ge1$ では上面にある確率と底面にある確率は等しい。すなわち

$$ c_n=b_n \qquad (n\ge1) $$

である。

よって

$$ a_n+b_n+c_n=1 $$

に $c_n=b_n$ を代入して

$$ a_n+2b_n=1 $$

となるから、

$$ b_n=\frac{1-a_n}{2} $$

である。ここに先ほどの $a_n$ を代入すると、

$$ b_n =\frac12\left(1-\frac23-\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1}\right) =\frac16\left(1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right) \qquad (n\ge1) $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty} b_n =\frac16 $$

である。

解説

この問題は、立方体の詳しい向き全体を追う必要はなく、印のついた面が「上・側・下」のどこにあるかだけを状態として見れば十分である。

特に重要なのは、側面にあるときの遷移である。4通りの倒し方のうち、

• 1通りで上面
• 1通りで底面
• 2通りで側面

となることを正確に数えれば、あとは確率漸化式の処理になる。

また、上面と底面は対称な役割を果たすので、$n\ge1$ ではそれらの確率が一致することに気づくと、$b_n$ の計算が大きく簡単になる。

答え

$$ a_2=\frac12 $$

$$ a_{n+1}=1-\frac12 a_n \qquad (n\ge1) $$

$$ b_n=\frac16\left(1-\left(-\frac12\right)^{,n-1}\right)\qquad (n\ge1) $$

$$ \lim_{n\to\infty} b_n=\frac16 $$