東北大学 2004年 文系 第3問 解説

方針・初手

まず与えられた条件を整理する。

$$ \frac{1}{z-i}+\frac{1}{z+i} =========================== # \frac{(z+i)+(z-i)}{(z-i)(z+i)} # \frac{2z}{z^2+1} \frac{1}{w} $$

したがって

$$ w=\frac{z^2+1}{2z} $$

であり、これを移項すると

$$ z^2-2wz+1=0 $$

となる。よって

$$ (z-w)^2=z^2-2wz+w^2=w^2-1 $$

が成り立つ。これを用いるのが基本方針である。

解法1

(1) $(z-w)^2$ を $u,v$ で表す

$w=u+iv$ であるから、

$$ (z-w)^2=w^2-1=(u+iv)^2-1 $$

より

$$ (z-w)^2=(u^2-v^2-1)+2uvi $$

である。

(2) $u=0$ ならば $x=0$ であることを示す

(1) の結果に $u=0$ を代入すると、

$$ (z-w)^2=-(v^2+1) $$

となる。右辺は負の実数である。

一方、

$$ z-w=(x+iy)-(u+iv)=x+i(y-v) $$

であり、ここで $u=0$ なので

$$ z-w=x+i(y-v) $$

である。これを2乗すると

$$ (z-w)^2=x^2-(y-v)^2+2x(y-v)i $$

となる。

これが実数であるから、虚部は $0$ であり、

$$ 2x(y-v)=0 $$

すなわち

$$ x(y-v)=0 $$

を得る。

ここで、もし $y-v=0$ ならば

$$ (z-w)^2=x^2 $$

となり、これは $0$ 以上の実数である。しかし実際には

$$ (z-w)^2=-(v^2+1)<0 $$

であるから矛盾する。

したがって $y-v\neq 0$ であり、上の $x(y-v)=0$ より

$$ x=0 $$

である。

(3) $u>0,\ v>0$，かつ $w^2$ の実部が $1$ となるような $z$ を、$u$ を用いて表す

$w=u+iv$ であるから、

$$ w^2=(u+iv)^2=(u^2-v^2)+2uvi $$

である。したがって $w^2$ の実部が $1$ であるという条件は

$$ u^2-v^2=1 $$

に等しい。

さらに $v>0$ より

$$ v=\sqrt{u^2-1} $$

である。したがってこのとき $u>1$ である。

ここで (1) より

$$ (z-w)^2=(u^2-v^2-1)+2uvi $$

であるが、$u^2-v^2=1$ を用いると

$$ (z-w)^2=2uvi =2u\sqrt{u^2-1},i $$

となる。

ここで

$$ a=\sqrt{u\sqrt{u^2-1}} $$

とおくと、

$$ (a+ia)^2 ======== # a^2-a^2+2a^2 i 2u\sqrt{u^2-1},i $$

であるから

$$ z-w=\pm a(1+i) $$

となる。

また

$$ w=u+i\sqrt{u^2-1} $$

であるから、

$$ z = u+i\sqrt{u^2-1} \pm \sqrt{u\sqrt{u^2-1}},(1+i) $$

を得る。

すなわち

$$ z= \left(u\pm \sqrt{u\sqrt{u^2-1}}\right) + i\left(\sqrt{u^2-1}\pm \sqrt{u\sqrt{u^2-1}}\right) \qquad (u>1) $$

である。ただし実部・虚部の符号は同時に取る。

解説

この問題の本質は、与式をそのまま実部・虚部で処理することではなく、

$$ \frac{1}{z-i}+\frac{1}{z+i}=\frac{1}{w} \quad\Longrightarrow\quad z^2-2wz+1=0 $$

という二次方程式の形に直す点にある。すると

$$ (z-w)^2=w^2-1 $$

が直ちに得られ、$z$ と $w$ の関係が非常に見やすくなる。

(2) では $(z-w)^2$ が負の実数であることを使い、虚部が $0$ であることと実部が負であることの両方を使う必要がある。虚部が $0$ であることだけでは $x=0$ は出ないので、$y-v=0$ の場合が矛盾することまで確認するのが重要である。

(3) では $\operatorname{Re}(w^2)=1$ が $u^2-v^2=1$ に等しいことを読み替えると、$v$ を $u$ だけで表せる。そのうえで $(z-w)^2$ が純虚数になるので、その平方根を求めれば $z$ が求まる。

答え

$$ \text{**(1)**}\quad (z-w)^2=(u^2-v^2-1)+2uvi $$

$$ \text{**(2)**}\quad u=0 \ \Rightarrow\ x=0 $$

$$ \text{**(3)**}\quad z = u+i\sqrt{u^2-1} \pm \sqrt{u\sqrt{u^2-1}},(1+i) \qquad (u>1) $$

すなわち

$$ z= \left(u\pm \sqrt{u\sqrt{u^2-1}}\right) + i\left(\sqrt{u^2-1}\pm \sqrt{u\sqrt{u^2-1}}\right) \qquad (u>1) $$

である。