東北大学 2010年 文系 第3問 解説

方針・初手

1回の試行での移動量は

• 2枚とも表：$+1$
• 2枚とも裏：$-1$
• それ以外：$0$

である。

このまま各回の移動量を足していってもよいが、この問題では「$n$回の試行で出た表の総数」を使うのが本質である。 各試行で出る表の枚数は $0,1,2$ のいずれかであり、その値と移動量を比べると、1回ごとに

$$ \text{移動量}=\text{その回に出た表の枚数}-1 $$

となる。したがって、$n$回全体で出た表の総数を $i$ とすると、$S_n$ は $i$ を用いて簡潔に表せる。 これを先に求めれば、（1）、（2）、（4） はすべて二項分布の計算に帰着する。

解法1

まず、$j$回目の試行における移動量を $X_j$ とする。

また、その試行で出た表の枚数を $H_j$ とすると、$H_j$ は

• 2枚とも裏のとき $0$
• 1枚ずつのとき $1$
• 2枚とも表のとき $2$

である。

一方、移動量 $X_j$ は

• 2枚とも裏のとき $-1$
• 1枚ずつのとき $0$
• 2枚とも表のとき $1$

であるから、各回について

$$ X_j=H_j-1 $$

が成り立つ。

$n$回の試行で出た表の総数を $i$ とすると

$$ H_1+H_2+\cdots+H_n=i $$

であり、また

$$ S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n $$

だから、

$$ S_n=(H_1-1)+(H_2-1)+\cdots+(H_n-1) $$

$$ =i-n $$

となる。よって （3） は

$$ S_n=i-n $$

である。

次にこれを用いて各問を求める。

（1） $S_2=-1$ となる確率

$S_2=i-2$ より、

$$ S_2=-1 \iff i=1 $$

である。

2回の試行では硬貨を合計4枚投げるので、$i$ は「4回の公平なコイントスで表が出る回数」に等しい。したがって

$$ P(S_2=-1)=P(i=1)=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}}{2^4} =\frac{4}{16} =\frac14 $$

である。

（2） $S_3=1$ となる確率

同様に

$$ S_3=i-3 $$

であるから、

$$ S_3=1 \iff i=4 $$

となる。

3回の試行では硬貨を合計6枚投げるので、

$$ P(S_3=1)=P(i=4)=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{4}}{2^6} =\frac{15}{64} $$

である。

（4） $S_n=k$ となる確率

（3） より

$$ S_n=k \iff i-n=k \iff i=n+k $$

である。

$n$回の試行では合計 $2n$ 枚の公平な硬貨を投げるから、表の総数 $i$ は二項分布に従い、

$$ P(i=r)=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_{r}}{2^{2n}} \qquad (r=0,1,\dots,2n) $$

である。したがって

$$ P(S_n=k)=P(i=n+k)=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_{n+k}}{2^{2n}} $$

となる。ただし、$n+k$ が $0$ 以上 $2n$ 以下でなければならないので、

$$ P(S_n=k)= \begin{cases} \dfrac{{}_{2n}\mathrm{C}_{n+k}}{2^{2n}} & (-n\leqq k\leqq n) \\ 0 & \text{それ以外} \end{cases} $$

である。

解説

この問題の核心は、1回の試行ごとの「移動量」と「出た表の枚数」の対応を見ることである。

各回で

$$ -1,\ 0,\ 1 $$

と動くが、同時に表の枚数は

$$ 0,\ 1,\ 2 $$

であり、両者の差が常に $1$ だけずれている。したがって、各回について

$$ \text{移動量}=\text{表の枚数}-1 $$

となり、$n$回分を足せば $S_n=i-n$ という一次式になる。

この関係に気づけば、位置の問題が「$2n$回の公平なコイントスで表が何枚出るか」という標準的な二項分布の問題に変わる。 個々の移動の並びを場合分けして数えるより、はるかに見通しがよい。

答え

$$ \text{（1） } P(S_2=-1)=\frac14 $$

$$ \text{（2） } P(S_3=1)=\frac{15}{64} $$

$$ \text{（3） } S_n=i-n $$

$$ \text{（4） } P(S_n=k)= \begin{cases} \dfrac{{}_{2n}\mathrm{C}_{n+k}}{2^{2n}} & (-n\leqq k\leqq n) \\ 0 & \text{それ以外} \end{cases} $$