東北大学 2010年 文系 第2問 解説

方針・初手

放物線 $C:y=x^2$ の接線の傾きは微分で求まる。したがって （1） は、点 $P(a,a^2)$ における法線、すなわち接線に直交する直線を求めればよい。

（2） では、折り返しの軸が直線 $l$ であり、$x=a$ も $l$ もともに点 $P$ を通ることに注目する。したがって、折り返して得られる直線 $m$ も $P$ を通る。あとは傾きを求めればよい。

（3） では、（2） で得た式を整理して、$a$ に依らない共通点を読み取る。

解法1

(1)

放物線 $y=x^2$ の導関数は

$$ y'=2x $$

である。したがって、点 $P(a,a^2)$ における接線の傾きは $2a$ であり、接線の方程式は

$$ y-a^2=2a(x-a) $$

すなわち

$$ y=2ax-a^2 $$

である。

よって、これに直交する直線 $l$ は、点 $P(a,a^2)$ を通る法線であるから、$a\neq 0$ のとき

$$ y-a^2=-\frac{1}{2a}(x-a) $$

となる。これを整理すると

$$ x+2ay-(2a^3+a)=0 $$

を得る。

なお、$a=0$ のとき接線は $y=0$ であるから、これに直交し、かつ $P(0,0)$ を通る直線は $x=0$ である。したがって、上の式

$$ x+2ay-(2a^3+a)=0 $$

は $a=0$ の場合も含めて成り立つ。

(2)

以下、$a\neq 0$ とする。

直線 $l$ の傾きは $-\dfrac{1}{2a}$ である。$l$ の傾き角を $\theta$ とすると

$$ \tan\theta=-\frac{1}{2a} $$

である。

一方、直線 $x=a$ の傾き角は $\dfrac{\pi}{2}$ である。これを直線 $l$ に関して対称に折り返して得られる直線を $m$ とし、その傾き角を $\varphi$ とすると、対称性より

$$ \theta-\frac{\pi}{2}=-(\varphi-\theta) $$

すなわち

$$ \varphi=2\theta-\frac{\pi}{2} $$

となる。

したがって、$m$ の傾き $k$ は

$$ k=\tan\varphi=\tan\left(2\theta-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\tan2\theta} $$

である。ここで

$$ \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} =\frac{2\left(-\frac{1}{2a}\right)}{1-\frac{1}{4a^2}} =-\frac{4a}{4a^2-1} $$

より

$$ k=-\frac{1}{\tan2\theta} =\frac{4a^2-1}{4a} $$

となる。

また、折り返しの軸 $l$ は点 $P(a,a^2)$ を通り、直線 $x=a$ も点 $P$ を通るので、折り返して得られる直線 $m$ も点 $P$ を通る。よって、$m$ の方程式は

$$ y-a^2=\frac{4a^2-1}{4a}(x-a) $$

である。

これを整理すると

$$ y=\frac{4a^2-1}{4a}x+\frac{1}{4} $$

を得る。

(3)

（2） で得た直線 $m$ の方程式は

$$ y=\frac{4a^2-1}{4a}x+\frac{1}{4} $$

である。この式で $x=0$ とすると

$$ y=\frac{1}{4} $$

となる。

これは $a$ の値によらない。したがって、直線 $m$ は常に定点

$$ F\left(0,\frac{1}{4}\right) $$

を通る。

解説

この問題の要点は、（1） で放物線の法線を正確に求めることと、（2） で「対称移動した直線も、折り返しの軸上の点 $P$ を通る」という事実を使うことである。

（2） では、折り返しによって傾き角がどのように変化するかを追うと計算が素直になる。最後に式を整理すると、切片が常に $\dfrac{1}{4}$ になるため、定点がすぐに分かる。

答え

$$ \text{（1） } l:\ x+2ay-(2a^3+a)=0 $$

ただし、$a\neq 0$ なら

$$ l:\ y-a^2=-\frac{1}{2a}(x-a) $$

であり、$a=0$ では $l:x=0$ である。

$$ \text{（2） } m:\ y-a^2=\frac{4a^2-1}{4a}(x-a) $$

すなわち

$$ m:\ y=\frac{4a^2-1}{4a}x+\frac{1}{4} $$

$$ \text{（3） 定点 }F\left(0,\frac{1}{4}\right) $$