東北大学 2011年 文系 第3問 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\ \overrightarrow{OB}=\boldsymbol b$ とおく。

点 $C$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分するので、$AC:CB=1:2$ より内分点の公式から

$$ \overrightarrow{OC}=\frac{2\boldsymbol a+\boldsymbol b}{3} $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OD}=x\boldsymbol a,\qquad \overrightarrow{OE}=y\boldsymbol b $$

と表せる。 $E$ は直線 $CD$ 上にもあるので、これを用いて $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ の係数を比較するのが基本方針である。 面積については、$\triangle ODE$ は $\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OE}$ を辺にもつので、$\triangle OAB$ との面積比をベクトルの係数から直接求める。

解法1

(1)

$E$ は直線 $CD$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OE} =================== \overrightarrow{OC} +t\left(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\right) $$

と書ける。これに $\overrightarrow{OC}=\dfrac{2\boldsymbol a+\boldsymbol b}{3}$、 $\overrightarrow{OD}=x\boldsymbol a$、 $\overrightarrow{OE}=y\boldsymbol b$ を代入すると、

$$ y\boldsymbol b ============== \frac{2\boldsymbol a+\boldsymbol b}{3} +t\left( x\boldsymbol a-\frac{2\boldsymbol a+\boldsymbol b}{3} \right) $$

となる。右辺の $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ の係数を整理すると、

$$ y\boldsymbol b ============== \left{ \frac{2}{3} +t\left(x-\frac{2}{3}\right) \right}\boldsymbol a + \frac{1-t}{3}\boldsymbol b $$

である。

左辺には $\boldsymbol a$ の成分がないから、

$$ \frac{2}{3}+t\left(x-\frac{2}{3}\right)=0 $$

すなわち

$$ t=-\frac{2}{3x-2} $$

を得る。これを $\boldsymbol b$ の係数に代入すると、

$$ y=\frac{1-t}{3} =\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{3x-2}\right) =\frac{x}{3x-2} $$

である。

したがって、

$$ \frac{1}{y}=\frac{3x-2}{x}=3-\frac{2}{x} $$

より、

$$ \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3 $$

が成り立つ。

(2)

$\triangle OAB$ の面積を $S$、$\triangle ODE$ の面積を $T$ とする。

$\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OE}=y\overrightarrow{OB}$ であるから、外積の大きさを用いれば

$$ T = # \frac12\left|\overrightarrow{OD}\times\overrightarrow{OE}\right| \frac12\left|x\overrightarrow{OA}\times y\overrightarrow{OB}\right| =xy\cdot \frac12\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right| =xyS $$

となる。よって

$$ \frac{S}{T}=\frac{1}{xy} $$

である。

ここで （1） の結果を用いる。$u=\dfrac{1}{x}$ とおくと、$x\geqq 1$ より

$$ 0<u\leqq 1 $$

であり、

$$ \frac{1}{y}=3-\frac{2}{x}=3-2u $$

だから、

$$ \frac{S}{T} =========== # \frac{1}{xy} # \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y} u(3-2u) $$

である。これを平方完成すると、

$$ u(3-2u) ======= -2\left(u-\frac34\right)^2+\frac98 $$

となるので、

$$ \frac{S}{T}\leqq \frac98 $$

であり、等号は

$$ u=\frac34 $$

すなわち

$$ x=\frac43 $$

のときに成り立つ。

したがって、$\dfrac{S}{T}$ の最大値は $\dfrac98$ であり、そのとき

$$ x=\frac43 $$

である。

解説

この問題の要点は2つである。

まず、点 $C$ の位置ベクトルを内分公式で正確に表し、$C,D,E$ が一直線上にあることを係数比較に落とし込むことである。これにより $x$ と $y$ の関係式が機械的に得られる。

次に、面積比は複雑に見えても

$$ T=xyS $$

と非常に簡潔に表せる点が重要である。 したがって （1） で得た関係式をそのまま （2） に使えば、最後は二次関数の最大値の問題になる。

答え

$$ \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3 $$

また、

$$ \frac{S}{T} $$

の最大値は

$$ \frac98 $$

であり、そのとき

$$ x=\frac43 $$

である。