東北大学 2011年 文系 第4問 解説

方針・初手

放物線 $y=x^2$ の $x=t$ における接線は、微分係数 $2t$ を用いて

$$ y=2tx-t^2 $$

と表せる。したがって、2本の接線をそれぞれ接点の $x$ 座標で表し、傾きの条件「垂直」を式に直せばよい。

解法1

(1)

$l$ の接点が $(a,a^2)$ であるから、$l$ の方程式は

$$ y=2ax-a^2 $$

である。

一方、$m$ の接点を $(b,b^2)$ とすると、$m$ の方程式は

$$ y=2bx-b^2 $$

となる。

$l,m$ は垂直であるから、その傾きについて

$$ (2a)(2b)=-1 $$

が成り立つ。よって

$$ b=-\frac{1}{4a} $$

である。したがって $a\neq 0$ である。

次に、$l,m$ の交点を求める。交点の $x$ 座標を $X$ とすると、

$$ 2aX-a^2=2bX-b^2 $$

より

$$ 2(a-b)X=a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$

であるから、

$$ X=\frac{a+b}{2} $$

となる。ここに $b=-\dfrac{1}{4a}$ を代入すると、

$$ X=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{4a}\right) =\frac{4a^2-1}{8a} $$

である。

また、このときの $y$ 座標を $Y$ とすると、

$$ Y=2a\cdot \frac{a+b}{2}-a^2=ab $$

であるから、

$$ Y=a\left(-\frac{1}{4a}\right)=-\frac14 $$

となる。

よって、交点の座標は

$$ \left(\frac{4a^2-1}{8a},-\frac14\right) $$

である。

(2)

$l,m$ が $y$ 軸に関して対称であるとき、その交点は $y$ 軸上にある。したがって、（1） で求めた交点の $x$ 座標が $0$ になればよいから、

$$ \frac{4a^2-1}{8a}=0 $$

より

$$ 4a^2-1=0 $$

すなわち

$$ a=\pm \frac12 $$

となる。

したがって、2本の接線は $x=\dfrac12,,-\dfrac12$ における接線であり、それぞれ

$$ y=x-\frac14,\qquad y=-x-\frac14 $$

である。

この2直線と放物線 $y=x^2$ に囲まれる部分の面積を $S$ とする。図形は $y$ 軸対称であるから、

$$ S=2\int_0^{1/2}\left{x^2-\left(x-\frac14\right)\right}dx $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=2\int_0^{1/2}\left(x^2-x+\frac14\right)dx \\ &=2\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{4}\right]_0^{1/2} \\ &=2\left(\frac{1}{24}-\frac18+\frac18\right) \\ &=2\cdot \frac{1}{24} \\ &=\frac{1}{12} \end{aligned} $$

よって、求める面積は

$$ \frac{1}{12} $$

である。

解説

接線を「接点の $x$ 座標 $t$」で

$$ y=2tx-t^2 $$

と表すのが基本である。これにより、接線の傾きは $2t$ と直ちに分かるので、垂直条件は傾きの積 $-1$ として処理できる。

また、2本の接線の交点が常に $y=-\dfrac14$ 上に乗ることも、この計算から分かる。（2） では、$y$ 軸対称という幾何的条件を、交点が $y$ 軸上にあるという条件に落として使うと処理が簡潔になる。

答え

$$ \text{（1） }, l,m \text{ の交点は } \left(\frac{4a^2-1}{8a},-\frac14\right) $$

$$ \text{（2） }, l,m \text{ および } y=x^2 \text{ で囲まれる部分の面積は } \frac{1}{12} $$