東北大学 2008年 文系 第4問 解説

方針・初手

原点からの距離だけに注目すると整理しやすい。

点 $P$ の座標を $a$ とすると，1回サイコロを振って $k$ が出たあとの原点からの距離は

$$ \left|,|a|-k,\right| $$

となる。したがって，符号は気にせず「原点からの距離」がどう変わるかだけを追えばよい。

特に，原点からの距離が $1,2,\dots,6$ のいずれかであるときは，次の1回で原点に着くのは「出た目が現在の距離と一致するとき」に限るので，その確率は常に $1/6$ である。この事実を用いて計算する。

解法1

初期位置から原点までの距離を $d$ とする。

1回サイコロを振って $k$ が出たとき，移動後の原点からの距離は

$$ |d-k| $$

である。

したがって，$d\in{1,2,\dots,6}$ のとき，次の1回で原点に到達する確率は

$$ P(k=d)=\frac16 $$

であり，到達しない確率は

$$ 1-\frac16=\frac56 $$

である。

しかも，到達しなかった場合の新しい距離は $|d-k|$ であり，これは $1,2,\dots,5$ のいずれかである。よって，再び同じ議論が使える。

(1) ちょうど2回で原点に終了する確率

初期座標が $1,2,\dots,6$ のいずれかであるとする。

1回目で原点に着かない確率は

$$ \frac56 $$

である。

そのとき，1回目のあとの距離は $1,2,\dots,5$ のいずれかであるから，2回目で原点に着く確率は

$$ \frac16 $$

である。

したがって，求める確率は

$$ \frac56\cdot\frac16=\frac5{36} $$

である。

(2) ちょうど3回で原点に終了する確率

初期座標が $1,2,\dots,6$ のいずれかであるとする。

1回目で原点に着かない確率は $\frac56$，その後も距離は $1,2,\dots,5$ のいずれかである。

さらに2回目でも原点に着かない確率は再び

$$ \frac56 $$

であり，そのあと3回目で原点に着く確率は

$$ \frac16 $$

である。

よって，求める確率は

$$ \frac56\cdot\frac56\cdot\frac16 =\frac{25}{216} $$

である。

(3) 座標が $7$ であるとき，ちょうど $n$ 回で原点に終了する確率

最初の距離は $7$ である。1回目に出る目 $k$ は $1,2,\dots,6$ のいずれかなので，1回目で原点に着くことはない。

しかも，1回目のあと原点からの距離は

$$ |7-k|=7-k $$

であり，これは $1,2,\dots,6$ のいずれかである。

したがって，1回目のあとからは「距離が $1,2,\dots,6$ のいずれかである場合」と全く同じ状況になる。

ここで，距離が $1,2,\dots,6$ のいずれかであるとき，ちょうど $m$ 回で原点に着く確率を $q_m$ とおくと，

$$ q_m=\left(\frac56\right)^{m-1}\frac16 \qquad (m\geqq1) $$

である。

よって，距離 $7$ からちょうど $n$ 回で原点に着く確率 $p_n$ は

$$ p_1=0, \qquad p_n=q_{n-1} =\left(\frac56\right)^{n-2}\frac16 \qquad (n\geqq2) $$

となる。

解説

重要なのは，座標そのものではなく原点からの距離を見ることである。

距離が $1,2,\dots,6$ の範囲に入ってしまえば，次の1回で原点に着く確率は常に $1/6$ であり，着かなければ再び距離は $1,2,\dots,5$ の範囲に残る。したがって，「各回ごとに確率 $1/6$ で終了する」形になり，幾何分布と同じ形になる。

座標が $7$ の場合だけは，最初の1回では絶対に終了せず，その1回後に距離 $1,\dots,6$ に入るので，そのぶんだけ回数が1つずれる。

答え

$$ \text{**(1)** }\frac5{36} $$

$$ \text{**(2)** }\frac{25}{216} $$

$$ \text{**(3)** } p_1=0,\qquad p_n=\left(\frac56\right)^{n-2}\frac16\ \ (n\geqq2) $$