東北大学 2010年 理系 第3問 解説

方針・初手

各回の操作では，4枚のカードから1枚を取り出したあと元に戻しているので，5回の抽出は互いに独立であり，各回で $1,2,3,4$ が出る確率はそれぞれ $\dfrac14$ である。

したがって，5桁の各位に入る数字列を考えれば，全事象は

$$ 4^5 $$

通りであり，あとは条件を満たす並び方を数えればよい。なお，1の位から順に決めているが，数字の出現回数を問う問題なので，位の決め方は本質的でない。

解法1

（1） $X$ に数字 $1$ がちょうど2回現れる確率

5か所のうち，数字 $1$ が現れる位置を2か所選べばよいから，

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{2} $$

通りある。

残り3か所には $1$ 以外の数字，すなわち $2,3,4$ のいずれかが入るので，各か所3通りずつあり，

$$ 3^3 $$

通りである。

よって求める場合の数は

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{2} \cdot 3^3 = 10 \cdot 27 = 270 $$

したがって確率は

$$ \frac{270}{4^5} =\frac{270}{1024} =\frac{135}{512} $$

である。

（2） $X$ に数字 $1$ と数字 $2$ がちょうど1回ずつ現れる確率

まず，5か所のうち数字 $1$ を置く位置を1か所選び，続いて数字 $2$ を置く位置を1か所選ぶと，

$$ 5 \cdot 4 = 20 $$

通りある。

残り3か所には $1,2$ 以外の数字，すなわち $3,4$ のいずれかが入るので，各か所2通りずつあり，

$$ 2^3=8 $$

通りである。

よって求める場合の数は

$$ 20 \cdot 8 = 160 $$

したがって確率は

$$ \frac{160}{4^5} =\frac{160}{1024} =\frac{5}{32} $$

である。

（3） $X$ にちょうど2回現れる数字が1種類以上ある確率

出現回数の型を考える。

ちょうど2回現れる数字が少なくとも1種類あるのは，次の3つの場合である。

（i） 出現回数が $(2,1,1,1)$ 型の場合

1つの数字が2回現れ，残り3種類が1回ずつ現れる。

2回現れる数字の選び方は

$$ 4 $$

通り。

その並べ方は，同じ数字2個を含む5個の並べ方だから

$$ \frac{5!}{2!}=60 $$

通り。

よって

$$ 4 \cdot 60 = 240 $$

通り。

（ii） 出現回数が $(2,2,1,0)$ 型の場合

2つの数字がそれぞれ2回ずつ現れ，別の1つの数字が1回現れる。

まず，2回現れる数字2種類の選び方は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6 $$

通り。

残り2種類のうち，1回現れる数字の選び方は

$$ 2 $$

通り。

その並べ方は

$$ \frac{5!}{2!2!}=30 $$

通り。

よって

$$ 6 \cdot 2 \cdot 30 = 360 $$

通り。

（iii） 出現回数が $(3,2,0,0)$ 型の場合

1つの数字が3回，別の1つの数字が2回現れる。

2回現れる数字の選び方が

$$ 4 $$

通り。

3回現れる数字の選び方が残りから

$$ 3 $$

通り。

その並べ方は

$$ \frac{5!}{3!2!}=10 $$

通り。

よって

$$ 4 \cdot 3 \cdot 10 = 120 $$

通り。

以上より，有利な場合の数は

$$ 240+360+120=720 $$

したがって求める確率は

$$ \frac{720}{4^5} =\frac{720}{1024} =\frac{45}{64} $$

である。

解説

この問題は，5回の復元抽出をしているので，各位に入る数字を独立に選ぶ試行とみなせることが本質である。

（1） と （2） は，条件を満たす位置を先に決め，残りに入る数字の選択肢を掛け合わせればよい。

（3） は，単に「2回現れる数字がある」と考えると重複して数えやすいので，出現回数の型を

$$ (2,1,1,1),\ (2,2,1,0),\ (3,2,0,0) $$

の3通りに分けて数えるのが安全である。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{135}{512} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{5}{32} $$

$$ \text{(3)}\ \frac{45}{64} $$