東北大学 2013年 理系 第3問 解説

方針・初手

各人について、勝敗は「自分の出目の累積和」が $6$ 以上になるかどうかで決まる。したがって、各設問では

• その時点までに相手が勝っていないこと
• 指定された回数で初めて条件を満たすこと

を順に整理して数え上げればよい。A の出目列と B の出目列は独立なので、条件をそれぞれの側で数えて掛け合わせる方針が有効である。

解法1

（1） A がちょうど $2$ 回投げて勝つ確率を求める。

A が $2$ 回目で勝つためには、

• 1回目の A の後では勝っていない
• 1回目の B でもゲームが終わっていない
• 2回目の A で累積和が $6$ 以上になる

ことが必要である。

A の1回目を $a_1$、2回目を $a_2$、B の1回目を $b_1$ とすると、条件は

$$ a_1 \leqq 5,\quad b_1 \leqq 5,\quad a_1+a_2 \geqq 6 $$

である。

まず、$(a_1,a_2)$ について $a_1+a_2\geqq 6$ となる場合の数を数える。

$$ \begin{aligned} a_1=1 &:\ a_2=5,6 \quad 2通り\\ a_1=2 &:\ a_2=4,5,6 \quad 3通り\\ a_1=3 &:\ 4通り\\ a_1=4 &:\ 5通り\\ a_1=5 &:\ 6通り \end{aligned} $$

したがって

$$ 2+3+4+5+6=20\text{通り} $$

である。

また、$b_1\leqq 5$ は $5$ 通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{20}{6^2}\cdot \frac{5}{6} =============================== # \frac{100}{216} \frac{25}{54} $$

となる。

（2） B がちょうど $2$ 回投げて勝つ確率を求める。

B が $2$ 回目で勝つためには、順番に

• A は2回目終了時点まで勝っていない
• B は1回目では勝っていない
• B は2回目で累積和が $6$ 以上になる

ことが必要である。

A の出目を $a_1,a_2$、B の出目を $b_1,b_2$ とすると、条件は

$$ a_1+a_2 \leqq 5,\quad b_1 \leqq 5,\quad b_1+b_2 \geqq 6 $$

である。

まず、$(a_1,a_2)$ について $a_1+a_2\leqq 5$ となる場合の数は

$$ \begin{aligned} a_1=1 &:\ a_2=1,2,3,4 \quad 4通り\\ a_1=2 &:\ 3通り\\ a_1=3 &:\ 2通り\\ a_1=4 &:\ 1通り\\ a_1=5 &:\ 0通り \end{aligned} $$

より

$$ 4+3+2+1=10\text{通り} $$

である。

次に、$(b_1,b_2)$ について $b_1\leqq 5,\ b_1+b_2\geqq 6$ となる場合の数は、（1） と同様に

$$ 20\text{通り} $$

である。

したがって求める確率は

$$ \frac{10}{6^2}\cdot \frac{20}{6^2} ================================== # \frac{200}{1296} \frac{25}{81} $$

となる。

（3） B がちょうど $3$ 回投げた時点で、まだゲームが終了していない確率を求める。

B が $3$ 回投げ終わった時点でもゲームが終わっていないということは、

• A の3回の合計が $5$ 以下
• B の3回の合計が $5$ 以下

であることと同値である。合計が途中で $6$ 以上になれば、その時点でゲームが終了するからである。

したがって、まず「3回の出目の和が $5$ 以下」となる場合の数を数える。

3個のサイコロの出目を $x,y,z$ とすると、$x+y+z\leqq 5$ であり、各出目は $1$ 以上であるから、可能な和は $3,4,5$ である。

• 和が $3$ のとき $(1,1,1)$ の $1$ 通り

• 和が $4$ のとき 正の整数解の個数は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3 $$

通り

• 和が $5$ のとき 正の整数解の個数は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6 $$

通り

よって、1人について3回の合計が $5$ 以下である場合の数は

$$ 1+3+6=10\text{通り} $$

である。

したがって、A も B もこの条件を満たす確率は

$$ \left(\frac{10}{6^3}\right)^2 ============================= # \left(\frac{10}{216}\right)^2 # \frac{100}{46656} \frac{25}{11664} $$

となる。

解説

この問題では、「ちょうど何回目で勝つか」を直接追うよりも、その時点までに必要な不等式条件を整理して数える方が確実である。

（1） と （2） では、「その人がその回で勝つ条件」と「相手がその前まで勝っていない条件」を分けて考えると見通しがよい。

（3） では、「B が3回投げ終えた時点でも未終了」という条件を、「A の3回合計も B の3回合計もともに $5$ 以下」と読み替えるのが核心である。累積和は増える一方なので、この読み替えによって途中経過までまとめて処理できる。

答え

$$ \begin{aligned} \text{(1)}&\ \frac{25}{54}\\ \text{(2)}&\ \frac{25}{81}\\ \text{(3)}&\ \frac{25}{11664} \end{aligned} $$