東北大学 1974年 理系 第2問 解説

方針・初手

円 $C$ は原点 $O$ を通るので，その中心を $\alpha$ とすると半径は $|\alpha|$ である。したがって，点 $z$ が $C$ 上にある条件は

$$ |z-\alpha|=|\alpha| $$

である。これを $z_1,z_2$ に適用し，さらに $\alpha$ が実軸上にあるときは $\alpha=a\in\mathbb{R}$ とおいて式を整理する。すると $\dfrac{x_k}{|z_k|^2}$ の等式に帰着し，これは $\operatorname{Re}\left(\dfrac1{z_k}\right)$ と一致するので，示すべき条件がそのまま現れる。

解法1

円 $C$ の中心を $\alpha$ とする。$C$ は $O$ を通るから，半径は $|\alpha|$ である。よって $z_k\in C\ (k=1,2)$ より

$$ |z_k-\alpha|=|\alpha| $$

が成り立つ。

これを2乗すると

$$ |z_k|^2-z_k\overline{\alpha}-\overline{z_k}\alpha=0 \qquad (k=1,2) $$

を得る。

ここで $z_k=x_k+y_ki\ (k=1,2)$ とする。また，問題の仮定より $z_1,z_2$ は虚軸上にないから

$$ x_1\neq 0,\qquad x_2\neq 0 $$

である。

（i） 必要性

$C$ の中心 $\alpha$ が実軸上にあると仮定する。このとき $\alpha=a\in\mathbb{R}$ と書ける。

すると $z_k\in C$ より

$$ |z_k-a|^2=a^2 $$

であり，これを展開すると

$$ x_k^2+y_k^2-2ax_k=0 $$

すなわち

$$ |z_k|^2=2ax_k \qquad (k=1,2) $$

を得る。よって

$$ \frac{x_k}{|z_k|^2}=\frac{1}{2a} \qquad (k=1,2) $$

となるから

$$ \frac{x_1}{|z_1|^2}=\frac{x_2}{|z_2|^2} $$

である。

一方，

$$ \frac1{z_k} =\frac{\overline{z_k}}{|z_k|^2} =\frac{x_k-y_ki}{|z_k|^2} $$

より

$$ \operatorname{Re}\left(\frac1{z_k}\right)=\frac{x_k}{|z_k|^2} $$

である。したがって

$$ \operatorname{Re}\left(\frac1{z_1}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac1{z_2}\right) $$

となり，

$$ \operatorname{Re}\left(\frac1{z_1}-\frac1{z_2}\right)=0 $$

を得る。つまり $\dfrac1{z_1}-\dfrac1{z_2}$ は純虚数である。

（ii） 十分性

逆に，

$$ \frac1{z_1}-\frac1{z_2} $$

が純虚数であると仮定する。すると

$$ \operatorname{Re}\left(\frac1{z_1}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac1{z_2}\right) $$

であるから，

$$ \frac{x_1}{|z_1|^2}=\frac{x_2}{|z_2|^2} $$

を得る。ここで $x_1,x_2\neq 0$ なので，共通の実数値を用いて

$$ a:=\frac{|z_1|^2}{2x_1}=\frac{|z_2|^2}{2x_2} $$

とおける。

このとき $k=1,2$ について

$$ |z_k-a|^2=|z_k|^2-2ax_k+a^2=a^2 $$

となる。したがって

$$ |z_k-a|=|a| \qquad (k=1,2) $$

であり，また明らかに

$$ |0-a|=|a| $$

である。よって $O,z_1,z_2$ の3点は，中心 $a$，半径 $|a|$ の円上にある。

問題の仮定より $O,z_1,z_2$ は同一直線上にないから，この3点を通る円はただ1つである。したがって，その円は $C$ に一致し，$C$ の中心は $a$ である。ゆえに $C$ の中心は実軸上にある。

以上より，$C$ の中心が実軸上にあるための必要十分条件は

$$ \operatorname{Re}\left(\frac1{z_1}-\frac1{z_2}\right)=0 $$

すなわち

$$ \frac1{z_1}-\frac1{z_2} $$

が純虚数であることである。

解説

この問題の要点は，「原点を通る円」の中心を $\alpha$ とすると，半径が $|\alpha|$ になることである。これにより，円周上の点 $z$ について $|z-\alpha|=|\alpha|$ という単純な関係が得られる。

さらに，中心が実軸上にあるときは $\alpha=a\in\mathbb{R}$ と書けるため，条件が

$$ |z_k|^2=2ax_k $$

という形に整理される。ここで

$$ \operatorname{Re}\left(\frac1z\right)=\frac{x}{|z|^2} $$

という基本計算に気づけば，条件がそのまま

$$ \operatorname{Re}\left(\frac1{z_1}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac1{z_2}\right) $$

に読み替えられる。複素数の逆数の実部を使うのがこの問題の核心である。

答え

円 $C$ の中心が実軸上にあるための必要十分条件は

$$ \operatorname{Re}\left(\frac1{z_1}-\frac1{z_2}\right)=0 $$

すなわち

$$ \frac1{z_1}-\frac1{z_2} $$

が純虚数であることである。