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東北大学 1974年理系第3問解説

方針・初手

与えられた加速度の $x$ 軸方向の成分を積分し、初期条件を用いて速度の $x$ 成分および位置の $x$ 成分を求める。曲線の方程式から速度の $y$ 成分を導き、速度の大きさを $t$ の関数として立式して微積分で最大値を調べる。最後に速度の大きさを時刻 $0$ から $T$ まで定積分し、曲線の長さを求める。

解法1

時刻 $t$ における点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。加速度の $x$ 軸方向の成分が $-4e^{-t}$ であるから、

$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -4e^{-t} $$

両辺を $t$ について積分すると、速度の $x$ 軸方向の成分 $\frac{dx}{dt}$ は、

$$ \frac{dx}{dt} = \int (-4e^{-t}) dt = 4e^{-t} + C_1 $$

（$C_1$ は積分定数）となる。 $t=0$ のとき $\frac{dx}{dt} = 4$ であるから、$4 = 4e^0 + C_1$ より $C_1 = 0$ となる。したがって、

$$ \frac{dx}{dt} = 4e^{-t} $$

さらに両辺を $t$ について積分すると、点 $P$ の $x$ 座標は、

$$ x = \int 4e^{-t} dt = -4e^{-t} + C_2 $$

（$C_2$ は積分定数）となる。 $t=0$ のとき $P$ は原点にあるため $x = 0$ であり、$0 = -4e^0 + C_2$ より $C_2 = 4$ となる。したがって、

$$ x = 4 - 4e^{-t} = 4(1 - e^{-t}) $$

$t \geqq 0$ において $e^{-t} \leqq 1$ であるため、$x \geqq 0$ を満たしている。

点 $P$ は曲線 $y = x^{\frac{3}{2}}$ 上を動くため、合成関数の微分法を用いると、速度の $y$ 軸方向の成分 $\frac{dy}{dt}$ は、

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{dx}{dt} $$

これに求めた $x$ と $\frac{dx}{dt}$ を代入すると、

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{3}{2}\sqrt{4(1 - e^{-t})} \cdot 4e^{-t} = 12e^{-t}\sqrt{1 - e^{-t}} $$

速度の大きさ $|\vec{v}|$ の2乗を考える。

$$ \begin{aligned} |\vec{v}|^2 &= \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 \\ &= (4e^{-t})^2 + \left( 12e^{-t}\sqrt{1 - e^{-t}} \right)^2 \\ &= 16e^{-2t} + 144e^{-2t}(1 - e^{-t}) \\ &= 16e^{-2t} \{ 1 + 9(1 - e^{-t}) \} \\ &= 16e^{-2t}(10 - 9e^{-t}) \\ &= 160e^{-2t} - 144e^{-3t} \end{aligned} $$

$f(t) = 160e^{-2t} - 144e^{-3t}$ $(t \geqq 0)$ とおき、この関数の増減を調べる。

$$ \begin{aligned} f'(t) &= -320e^{-2t} + 432e^{-3t} \\ &= 32e^{-3t} \left( -10e^t + \frac{27}{2} \right) \end{aligned} $$

$f'(t) = 0$ となるのは $10e^t = \frac{27}{2}$、すなわち $e^t = \frac{27}{20}$ のときである。このときの時刻を $t = \log \frac{27}{20}$ とする。 $0 \leqq t < \log \frac{27}{20}$ において $e^t < \frac{27}{20}$ より $f'(t) > 0$ であり、$t > \log \frac{27}{20}$ において $e^t > \frac{27}{20}$ より $f'(t) < 0$ となる。したがって、$f(t)$ は $t = \log \frac{27}{20}$ で極大かつ最大となる。これが求める時刻 $T$ である。

$$ T = \log \frac{27}{20} $$

このとき $e^{-T} = \frac{20}{27}$ であり、速度の大きさの最大値は $\sqrt{f(T)}$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(T) &= 16 \left(\frac{20}{27}\right)^2 \left(10 - 9 \cdot \frac{20}{27}\right) \\ &= 16 \cdot \frac{400}{729} \cdot \left(10 - \frac{20}{3}\right) \\ &= \frac{6400}{729} \cdot \frac{10}{3} \\ &= \frac{64000}{2187} \end{aligned} $$

$$ \sqrt{f(T)} = \sqrt{\frac{64000}{2187}} = \frac{80\sqrt{10}}{27\sqrt{3}} = \frac{80\sqrt{30}}{81} $$

次に、$T$ までに $P$ が通過する曲線 $C$ の部分の長さ $L$ を求める。

$$ L = \int_{0}^{T} |\vec{v}| dt = \int_{0}^{T} \sqrt{16e^{-2t}(10 - 9e^{-t})} dt = \int_{0}^{T} 4e^{-t}\sqrt{10 - 9e^{-t}} dt $$

ここで、$u = 10 - 9e^{-t}$ とおくと、$du = 9e^{-t} dt$ より $e^{-t} dt = \frac{1}{9} du$ となる。積分区間について、$t=0$ のとき $u=1$ であり、$t=T$ のとき $e^{-T} = \frac{20}{27}$ より $u = 10 - 9 \cdot \frac{20}{27} = \frac{10}{3}$ となる。

$$ \begin{aligned} L &= \int_{1}^{\frac{10}{3}} 4\sqrt{u} \cdot \frac{1}{9} du \\ &= \frac{4}{9} \left[ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{\frac{10}{3}} \\ &= \frac{8}{27} \left\{ \left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right\} \\ &= \frac{8}{27} \left( \frac{10\sqrt{10}}{3\sqrt{3}} - 1 \right) \\ &= \frac{8}{27} \left( \frac{10\sqrt{30}}{9} - 1 \right) \\ &= \frac{80\sqrt{30} - 72}{243} \end{aligned} $$

解説

平面上の曲線運動における速度ベクトルと道のりに関する標準的な微分積分の問題である。与えられた加速度成分を積分して速度や位置を導く基本操作に加え、合成関数の微分を用いて $y$ 軸方向の速度を求める処理が必要となる。速度の大きさを計算する際、$|\vec{v}|^2$ を $t$ の関数として展開して扱うことで、微分計算の負担が大きく軽減される。最大値を求める過程や、道のりを求める定積分の過程では、直接 $T$ を代入するのではなく、$e^{-T}$ の値を活用することで見通しよく計算を進めることができる。後半の定積分では置換積分法が有効に働く。