東北大学 1987年 理系 第5問 解説

方針・初手

球が $xy$ 平面と交わってできる円の中心は，球の中心を $xy$ 平面へ正射影した点になる。したがって，球の中心は円 $(x+1)^2+y^2=2$ の中心 $(-1,0,0)$ の真上または真下にある。

そこで球の中心を $(-1,0,c)$，半径を $R$ とおく。

解法1

球の方程式は

$$ (x+1)^2+y^2+(z-c)^2=R^2 $$

と書ける。

この球と $xy$ 平面，すなわち $z=0$ との交わりは

$$ (x+1)^2+y^2+c^2=R^2 $$

すなわち

$$ (x+1)^2+y^2=R^2-c^2 $$

である。

これが与えられた円

$$ (x+1)^2+y^2=2 $$

に一致するので，

$$ R^2-c^2=2 $$

が成り立つ。

次に，この球が平面

$$ 4x+2\sqrt{2},y-z=4 $$

に接するから，球の中心 $(-1,0,c)$ からこの平面までの距離は半径 $R$ に等しい。

平面を

$$ 4x+2\sqrt{2},y-z-4=0 $$

と書くと，距離は

$$ \frac{|4(-1)+2\sqrt{2}\cdot 0-c-4|}{\sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2+(-1)^2}} ==================================================================== # \frac{|-8-c|}{\sqrt{16+8+1}} \frac{|c+8|}{5} $$

である。よって

$$ R=\frac{|c+8|}{5} $$

を得る。

これを $R^2-c^2=2$ に代入すると，

$$ \frac{(c+8)^2}{25}-c^2=2 $$

となるので，

$$ (c+8)^2-25c^2=50 $$

$$ c^2+16c+64-25c^2=50 $$

$$ 24c^2-16c-14=0 $$

$$ 12c^2-8c-7=0 $$

これを解くと，

$$ c=\frac{8\pm \sqrt{64+336}}{24} =\frac{8\pm 20}{24} $$

より，

$$ c=\frac76,\quad -\frac12 $$

である。

それぞれについて半径 $R$ を求める。

(i) $c=\dfrac76$ のとき

$$ R=\frac{\frac76+8}{5} =\frac{55/6}{5} =\frac{11}{6} $$

(ii) $c=-\dfrac12$ のとき

$$ R=\frac{-\frac12+8}{5} =\frac{15/2}{5} =\frac32 $$

したがって求める球は

$$ (x+1)^2+y^2+\left(z-\frac76\right)^2=\left(\frac{11}{6}\right)^2 $$

および

$$ (x+1)^2+y^2+\left(z+\frac12\right)^2=\left(\frac32\right)^2 $$

である。

解説

この問題の要点は，球と平面 $z=0$ の交わりが円であるとき，その円の中心が球の中心の $xy$ 平面への射影になることである。したがって中心の $x,y$ 座標はすぐに決まる。

あとは，断面円の半径に関する関係 $R^2-c^2=2$ と，平面に接する条件「中心から平面までの距離 $=$ 半径」を連立すればよい。条件が2つあるので，球が2個求まることも自然である。

答え

求める球の方程式は

$$ (x+1)^2+y^2+\left(z-\frac76\right)^2=\frac{121}{36} $$

または

$$ (x+1)^2+y^2+\left(z+\frac12\right)^2=\frac94 $$

である。