東北大学 1987年 理系 第6問 解説

方針・初手

$f_a(x)$ は $[-2a,2a]$ にだけ台をもつ三角形型の関数である。したがって、まず $\int f_a(x),dx$、すなわちこの関数の全体の面積を求めるのが自然である。

そのうえで、台の上では $|x|\le 2a$ なので $|ax|\le 2a^2\to 0$ となる。よって $|\cos(ax)|$ は台の上で一様に $1$ に近づく。この2点を組み合わせれば極限が出る。

解法1

$f_a(x)\ge 0$ であり、$2a<|x|\le \pi$ では $f_a(x)=0$ だから、

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f_a(x),dx =========================== # 2\int_0^{2a}\frac{2a-x}{2a^2},dx \frac{1}{a^2}\int_0^{2a}(2a-x),dx $$

である。ここで

$$ \int_0^{2a}(2a-x),dx ==================== # \left[2ax-\frac{x^2}{2}\right]_0^{2a} # 4a^2-2a^2 2a^2 $$

より、

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f_a(x),dx=2 $$

を得る。

次に、$a$ が十分小さいとき、たとえば $a<\dfrac12$ ならば、$|x|\le 2a$ に対して

$$ |ax|\le 2a^2<\frac{\pi}{2} $$

であるから、台の上では $\cos(ax)>0$ となり $|\cos(ax)|=\cos(ax)$ である。また、

$$ \sup_{|x|\le 2a}\bigl||\cos(ax)|-1\bigr| \le \sup_{|t|\le 2a^2}|\cos t-1| \to 0 \qquad (a\to 0) $$

が成り立つ。

したがって、

$$ \begin{aligned} \left| \int_{-\pi}^{\pi} f_a(x)|\cos(ax)|,dx ------------------------------------- \int_{-\pi}^{\pi} f_a(x),dx \right| &\le \int_{-\pi}^{\pi} f_a(x),\bigl||\cos(ax)|-1\bigr|,dx \\ &\le \left(\int_{-\pi}^{\pi} f_a(x),dx\right) \sup_{|x|\le 2a}\bigl||\cos(ax)|-1\bigr| \\ &= 2\sup_{|x|\le 2a}\bigl||\cos(ax)|-1\bigr| \to 0. \end{aligned} $$

ゆえに

$$ \lim_{a\to 0}\int_{-\pi}^{\pi} f_a(x)|\cos(ax)|,dx ================================================== # \int_{-\pi}^{\pi} f_a(x),dx 2 $$

である。

解法2

十分小さい $a$ では台の上で $\cos(ax)>0$ だから、絶対値を外してよい。積分を直接計算する。

対称性より

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f_a(x)|\cos(ax)|,dx ===================================== # 2\int_0^{2a}\frac{2a-x}{2a^2}\cos(ax),dx \frac{1}{a^2}\int_0^{2a}(2a-x)\cos(ax),dx $$

である。

ここで部分積分を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_0^{2a}(2a-x)\cos(ax),dx &= \left[\frac{(2a-x)\sin(ax)}{a}\right]_0^{2a} +\frac{1}{a}\int_0^{2a}\sin(ax),dx \\ &= 0+\frac{1}{a}\left[-\frac{\cos(ax)}{a}\right]_0^{2a} \\ &= \frac{1-\cos(2a^2)}{a^2}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f_a(x)|\cos(ax)|,dx ===================================== # \frac{1-\cos(2a^2)}{a^4} 2\left(\frac{\sin(a^2)}{a^2}\right)^2. $$

$a\to 0$ で $\dfrac{\sin(a^2)}{a^2}\to 1$ だから、

$$ \lim_{a\to 0}\int_{-\pi}^{\pi} f_a(x)|\cos(ax)|,dx ================================================== 2. $$

解説

この問題の本質は、$f_a(x)$ が原点付近に集中する台をもち、その全体の面積が一定であることにある。実際、$|\cos(ax)|$ は台の上で $1$ に近づくので、積分全体は「$f_a$ の面積」に近づく。

つまり、$f_a$ を近似恒等核のように見る発想が有効である。直接計算も可能であるが、まず台の大きさと全体の面積を見ると見通しが立ちやすい。

答え

$$ \boxed{2} $$