東北大学 2000年 理系 第2問 解説

方針・初手

$f(x)$ は $x$ の2次関数である。したがって、$0\le x\le 1$ での増減を調べれば最小値が分かる。

ここでは導関数を用いて、$f(x)$ が区間 $[0,1]$ で単調減少であることを示す。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\frac14|\alpha+\beta|^2x^2-(|\alpha|+|\beta|)x+1 $$

である。

これを微分すると

$$ f'(x)=\frac12|\alpha+\beta|^2x-(|\alpha|+|\beta|) $$

となる。

ここで $0\le x\le 1$ であるから、

$$ f'(x)\le \frac12|\alpha+\beta|^2-(|\alpha|+|\beta|) $$

が成り立つ。

さらに三角不等式より

$$ |\alpha+\beta|\le |\alpha|+|\beta| $$

であるので、$s=|\alpha+\beta|$ とおくと

$$ f'(x)\le \frac12s^2-s=s\left(\frac{s}{2}-1\right) $$

となる。

仮定より $|\alpha+\beta|<2$、すなわち $0\le s<2$ であるから、

$$ s\left(\frac{s}{2}-1\right)\le 0 $$

であり、したがって

$$ f'(x)\le 0 $$

が $0\le x\le 1$ の範囲で成り立つ。

よって $f(x)$ は区間 $[0,1]$ で単調減少であるから、最小値は右端 $x=1$ でとる。

したがって最小値は

$$ f(1)=\frac14|\alpha+\beta|^2-(|\alpha|+|\beta|)+1 $$

である。

解説

この問題の要点は、2次関数の頂点を直接求めるよりも、導関数の符号を区間全体で押さえることである。

特に

$$ |\alpha+\beta|\le |\alpha|+|\beta| $$

と

$$ |\alpha+\beta|<2 $$

を組み合わせると、$f'(x)$ が $[0,1]$ で常に $0$ 以下になることが分かる。したがって、最小値は端点 $x=1$ でと直ちに判断できる。

答え

最小値は

$$ 1-(|\alpha|+|\beta|)+\frac14|\alpha+\beta|^2 $$

であり、これは $x=1$ のときに達する。