東北大学 2000年 理系 第4問 解説

方針・初手

1回の操作で点 $A$ が動く量は

• $+1$（出目 $1$）…確率 $ \dfrac16 $
• $+2$（出目 $2,3$）…確率 $ \dfrac13 $
• $-1$（出目 $4$）…確率 $ \dfrac16 $
• $-2$（出目 $5,6$）…確率 $ \dfrac13 $

である。

したがって、5回振った後に原点に戻るためには、5回のうちに $+1,+2,-1,-2$ がそれぞれ何回出たかを数え上げ、その総移動量が $0$ になる場合をすべて調べればよい。

解法1

5回のうち、

• $+1$ が $a$ 回
• $+2$ が $b$ 回
• $-1$ が $c$ 回
• $-2$ が $d$ 回

出たとする。

このとき

$$ a+b+c+d=5 $$

であり、原点に戻る条件は総移動量が $0$ であるから

$$ a+2b-c-2d=0 $$

である。

この2式を満たす非負整数解を求める。

まず

$$ c=a+2b-2d $$

であるから、これを $a+b+c+d=5$ に代入すると

$$ a+b+(a+2b-2d)+d=5 $$

すなわち

$$ 2a+3b-d=5 $$

となる。よって

$$ d=2a+3b-5 $$

である。また、

$$ c=a+2b-2d=10-3a-4b $$

である。

したがって $c,d \geqq 0$ より

$$ 2a+3b \geqq 5,\qquad 3a+4b \leqq 10 $$

を満たす非負整数 $a,b$ を調べればよい。

実際に調べると、可能なのは次の4通りである。

(i)

$ (a,b,c,d)=(3,0,1,1) $

(ii)

$ (a,b,c,d)=(1,1,3,0) $

(iii)

$ (a,b,c,d)=(2,1,0,2) $

(iv)

$ (a,b,c,d)=(0,2,2,1) $

以下、それぞれの確率を求める。

（i） $ (a,b,c,d)=(3,0,1,1) $ のとき

5回の並べ方は

$$ \frac{5!}{3!1!1!}=20 $$

通りである。

1つの並びの確率は

$$ \left(\frac16\right)^3\left(\frac13\right)^0\left(\frac16\right)^1\left(\frac13\right)^1 =\frac{2}{6^5} $$

であるから、この場合の確率は

$$ 20 \cdot \frac{2}{6^5}=\frac{40}{6^5} $$

である。

（ii） $ (a,b,c,d)=(1,1,3,0) $ のとき

並べ方は

$$ \frac{5!}{1!1!3!}=20 $$

通りであり、1つの並びの確率は

$$ \left(\frac16\right)^1\left(\frac13\right)^1\left(\frac16\right)^3\left(\frac13\right)^0 =\frac{2}{6^5} $$

であるから、この場合の確率は

$$ 20 \cdot \frac{2}{6^5}=\frac{40}{6^5} $$

である。

（iii） $ (a,b,c,d)=(2,1,0,2) $ のとき

並べ方は

$$ \frac{5!}{2!1!2!}=30 $$

通りであり、1つの並びの確率は

$$ \left(\frac16\right)^2\left(\frac13\right)^1\left(\frac16\right)^0\left(\frac13\right)^2 =\frac{8}{6^5} $$

であるから、この場合の確率は

$$ 30 \cdot \frac{8}{6^5}=\frac{240}{6^5} $$

である。

（iv） $ (a,b,c,d)=(0,2,2,1) $ のとき

並べ方は

$$ \frac{5!}{0!2!2!1!}=30 $$

通りであり、1つの並びの確率は

$$ \left(\frac16\right)^0\left(\frac13\right)^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac13\right)^1 =\frac{8}{6^5} $$

であるから、この場合の確率は

$$ 30 \cdot \frac{8}{6^5}=\frac{240}{6^5} $$

である。

以上より、求める確率は

$$ \frac{40}{6^5}+\frac{40}{6^5}+\frac{240}{6^5}+\frac{240}{6^5} =\frac{560}{6^5} $$

である。

$6^5=7776$ であるから

$$ \frac{560}{7776}=\frac{35}{486} $$

となる。

解説

この問題では、出目そのものを直接追うよりも、1回ごとの移動量を $+1,+2,-1,-2$ の4種類に分類して数えるのが基本方針である。

5回という回数は小さいので、総移動量が $0$ になる回数の組 $(a,b,c,d)$ を整数条件から絞り込み、その後に多項係数で並べ方を数えるのが最も確実である。

特に、$+2$ と $-2$ はそれぞれ2つの出目に対応しているので、確率が $ \dfrac13 $ になる点を落とさないことが重要である。

答え

$$ \frac{35}{486} $$