東北大学 1997年 理系 第2問 解説

方針・初手

1回の得点は $1,4,9,16,25,36$ のいずれかである。3回の合計が $80$ 点以上になるには、大きい目がかなり多く必要であるから、出た目そのものを $a,b,c$ として

$$ a^2+b^2+c^2\geqq 80 $$

を満たす組 $(a,b,c)$ を数えればよい。全事象は $6^3=216$ 通りである。

解法1

出た目を $a,b,c\in {1,2,3,4,5,6}$ とする。

このとき条件は

$$ a^2+b^2+c^2\geqq 80 $$

である。

まず、$6$ が1回も出ないとすると、最大でも

$$ 5^2+5^2+5^2=75 $$

であり、$80$ に届かない。したがって、少なくとも1回は $6$ が出る必要がある。

次に場合分けする。

(i)

$6$ が3回出る場合

このとき

$$ 6^2+6^2+6^2=108 $$

で条件を満たす。該当は

$$ (6,6,6) $$

の1通りである。

(ii)

$6$ がちょうど2回出る場合

残り1つを $x$ とすると、条件は

$$ 36+36+x^2\geqq 80 $$

すなわち

$$ x^2\geqq 8 $$

であるから、$x\geqq 3$ である。

ただし「ちょうど2回」なので $x=6$ は除く。よって

$$ x=3,4,5 $$

の3通りである。各 $x$ について、$x$ の入る位置は3通りあるから、この場合は

$$ 3\times 3=9 \text{通り} $$

である。

(iii)

$6$ がちょうど1回出る場合

残り2つを $x,y\in{1,2,3,4,5}$ とすると、条件は

$$ 36+x^2+y^2\geqq 80 $$

すなわち

$$ x^2+y^2\geqq 44 $$

である。

ここで $x,y\leqq 5$ なので、最大は

$$ 5^2+5^2=50 $$

である。実際に調べると、

$$ 5^2+5^2=50\geqq 44 $$

のみが条件を満たし、

$$ 4^2+5^2=41<44 $$

であるから、他にはない。

したがって、この場合は $(x,y)=(5,5)$ のみであり、$6$ の位置は3通りあるから

$$ 3 \text{通り} $$

である。

以上より、条件を満たすのは

$$ 1+9+3=13 \text{通り} $$

である。

よって求める確率は

$$ \frac{13}{216} $$

である。

解説

この問題の要点は、得点をそのまま並べて考えるより、出た目を $a,b,c$ として $a^2+b^2+c^2\geqq 80$ を満たす組を数えることである。

特に、$6$ が出ないと最大でも $75$ 点であることに気づけば、場合分けが大幅に絞られる。そこから「$6$ が何回出るか」で整理すると、漏れなく簡潔に数えられる。

答え

$$ \frac{13}{216} $$