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東北大学 2002年理系第4問解説

方針・初手

空間ベクトルの基本通り、1つの頂点から伸びる3つのベクトルを基底としてすべての条件を立式します。

頂点 $A$ を始点とし、$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{AC}=\vec{c}$、$\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ とおいて計算を進めます。正四面体の性質から、各ベクトルの大きさと内積の値が定まります。 (1) は条件式を文字通りに2乗して展開・比較します。(2) は (1) の誘導を活用し、点 $Q$ についても「頂点 $D$ から見た正四面体」と解釈することで計算量を大きく減らすことができます。

解法1

(1)

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$、$\overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とおく。四面体 $ABCD$ は1辺の長さが $1$ の正四面体であるから、各ベクトルの大きさおよび内積は以下のようになる。

$$ |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 1 $$

$$ \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{d} = \vec{d}\cdot\vec{b} = 1 \times 1 \times \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$

$\overrightarrow{AP} = l\vec{b} + m\vec{c} + n\vec{d}$ より、$\overrightarrow{BP}$ は次のように表される。

$$ \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = (l-1)\vec{b} + m\vec{c} + n\vec{d} $$

この大きさを2乗して展開する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BP}|^2 &= |(l-1)\vec{b} + m\vec{c} + n\vec{d}|^2 \\ &= (l-1)^2|\vec{b}|^2 + m^2|\vec{c}|^2 + n^2|\vec{d}|^2 + 2(l-1)m(\vec{b}\cdot\vec{c}) + 2mn(\vec{c}\cdot\vec{d}) + 2n(l-1)(\vec{d}\cdot\vec{b}) \\ &= (l-1)^2 + m^2 + n^2 + (l-1)m + mn + n(l-1) \\ &= l^2 - 2l + 1 + m^2 + n^2 + lm - m + mn + nl - n \\ &= l^2 + m^2 + n^2 + lm + mn + nl - 2l - m - n + 1 \end{aligned} $$

同様の計算を $\overrightarrow{CP}$ と $\overrightarrow{DP}$ についても行う。

$$ \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC} = l\vec{b} + (m-1)\vec{c} + n\vec{d} $$

$$ \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD} = l\vec{b} + m\vec{c} + (n-1)\vec{d} $$

これらは $\overrightarrow{BP}$ の式において、係数 $l, m, n$ の役割が巡回的に入れ替わった構造をしているため、展開結果も同様に対称性を持つ。

$$ |\overrightarrow{CP}|^2 = l^2 + m^2 + n^2 + lm + mn + nl - l - 2m - n + 1 $$

$$ |\overrightarrow{DP}|^2 = l^2 + m^2 + n^2 + lm + mn + nl - l - m - 2n + 1 $$

条件 $|\overrightarrow{BP}| = |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{DP}|$ より、$|\overrightarrow{BP}|^2 = |\overrightarrow{CP}|^2$ が成り立つ。両辺を比較して共通項を消去すると、以下のようになる。

$$ -2l - m - n = -l - 2m - n $$

これを整理して、$l = m$ を得る。さらに、$|\overrightarrow{CP}|^2 = |\overrightarrow{DP}|^2$ からも同様に比較を行う。

$$ -l - 2m - n = -l - m - 2n $$

これを整理して、$m = n$ を得る。以上より、$l = m = n$ が示された。

このとき、$m=l, n=l$ を $|\overrightarrow{BP}|^2$ の式に代入して計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BP}|^2 &= l^2 + l^2 + l^2 + l^2 + l^2 + l^2 - 2l - l - l + 1 \\ &= 6l^2 - 4l + 1 \end{aligned} $$

$|\overrightarrow{BP}| \geqq 0$ であるから、平方根をとって $|\overrightarrow{BP}|$ が求まる。

$$ |\overrightarrow{BP}| = \sqrt{6l^2 - 4l + 1} $$

(2)

四面体 $PBCD$ が正四面体となる条件は、$|\overrightarrow{BP}| = |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{DP}| = 1$ かつ、点 $P$ が平面 $BCD$ 上になく頂点 $A$ とも異なる（$P \neq A$）ことである。 $|\overrightarrow{BP}| = |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{DP}|$ より、(1) の結果から $l = m = n$ である。さらに $|\overrightarrow{BP}| = 1$ より、以下の等式が成り立つ。

$$ \sqrt{6l^2 - 4l + 1} = 1 $$

両辺を2乗して整理する。

$$ 6l^2 - 4l = 0 $$

$$ 2l(3l - 2) = 0 $$

これより $l = 0, \frac{2}{3}$ となるが、$l = 0$ のときは $\overrightarrow{AP} = \vec{0}$ となり、$P$ が $A$ と一致してしまうため条件を満たさない。よって $l = \frac{2}{3}$ であり、$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} + \frac{2}{3}\vec{d}$ と定まる。このときの $\overrightarrow{BP}$ は次のように表される。

$$ \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = \left(\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} + \frac{2}{3}\vec{d}\right) - \vec{b} = \frac{1}{3}(-\vec{b} + 2\vec{c} + 2\vec{d}) $$

次に、点 $Q$ について考える。四面体 $QABC$ が正四面体となる条件は、$|\overrightarrow{AQ}| = |\overrightarrow{BQ}| = |\overrightarrow{CQ}| = 1$ かつ $Q \neq D$ である。頂点 $D$ を基準として、$\overrightarrow{DQ} = x\overrightarrow{DA} + y\overrightarrow{DB} + z\overrightarrow{DC}$ とおく。四面体 $DABC$ は1辺の長さが $1$ の正四面体であるため、上記の点 $Q$ に関する条件は、(1) の状況において「頂点 $A$ を $D$ に」「点 $P$ を $Q$ に」「頂点 $B, C, D$ を $A, B, C$ に」それぞれ置き換えたものと完全に同一である。したがって、(1) と全く同様の計算過程により $x = y = z$ が導かれ、さらに大きさが $1$ であることから $x = \frac{2}{3}$ となる（$x=0$ は $Q=D$ となるため不適）。すなわち、以下の式が成り立つ。

$$ \overrightarrow{DQ} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) $$

これを始点 $A$ のベクトルに書き換える。

$$ \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AD} = \frac{2}{3}(-\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) $$

$$ \overrightarrow{AQ} - \vec{d} = \frac{2}{3}(\vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}) $$

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} - \vec{d} $$

このときの $\overrightarrow{BQ}$ は次のように表される。

$$ \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AB} = \left(\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} - \vec{d}\right) - \vec{b} = \frac{1}{3}(-\vec{b} + 2\vec{c} - 3\vec{d}) $$

以上で得られた $\overrightarrow{BP}$ と $\overrightarrow{BQ}$ を用いて、内積 $\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ}$ を計算する。

$$ \overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ} = \frac{1}{9}(-\vec{b} + 2\vec{c} + 2\vec{d})\cdot(-\vec{b} + 2\vec{c} - 3\vec{d}) $$

ここで展開を簡略化するため、$\vec{u} = -\vec{b} + 2\vec{c}$ とおく。

$$ \overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ} = \frac{1}{9}(\vec{u} + 2\vec{d})\cdot(\vec{u} - 3\vec{d}) = \frac{1}{9}(|\vec{u}|^2 - \vec{u}\cdot\vec{d} - 6|\vec{d}|^2) $$

各項の値を計算する。

$$ |\vec{u}|^2 = |-\vec{b} + 2\vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 - 4\vec{b}\cdot\vec{c} + 4|\vec{c}|^2 = 1 - 4 \times \frac{1}{2} + 4 = 3 $$

$$ \vec{u}\cdot\vec{d} = (-\vec{b} + 2\vec{c})\cdot\vec{d} = -\vec{b}\cdot\vec{d} + 2\vec{c}\cdot\vec{d} = -\frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

$$ |\vec{d}|^2 = 1 $$

これらを代入して内積を求める。

$$ \overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ} = \frac{1}{9}\left(3 - \frac{1}{2} - 6\right) = \frac{1}{9}\left(-\frac{7}{2}\right) = -\frac{7}{18} $$

正四面体の辺の長さは $1$ であるから、$|\overrightarrow{BP}| = 1, |\overrightarrow{BQ}| = 1$ である。したがって、求める余弦の値は以下のようになる。

$$ \cos \angle PBQ = \frac{\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{BQ}|} = \frac{-\frac{7}{18}}{1 \times 1} = -\frac{7}{18} $$

解説

空間ベクトルの大きさと内積を扱う、極めて標準的な構成の問題です。 (1) は等式を立式して展開するだけですが、式が長くなるため「文字の対称性」を利用して計算量を減らす工夫が重要になります。 (2) は点 $Q$ の位置ベクトルの導出が関門となります。愚直に $\overrightarrow{AQ} = x\vec{b} + y\vec{c} + z\vec{d}$ とおいて連立方程式を解くことも可能ですが、正四面体の対称性に着目し、頂点 $D$ を視点とすることで (1) の結論をそのまま流用できることに気づけると、計算時間を大幅に短縮できます。