東北大学 2004年 理系 第1問 解説

方針・初手

まず内積 $\vec a\cdot \vec b$ を求める。与えられた

$$ |\vec b-\vec a|^2=\frac12 $$

を展開すれば、$|k\vec a+l\vec b|^2$ を $k,l$ の式で表せる。すると以後は整数論的な問題に帰着する。

解法1

与えられた条件

$$ |\vec a|^2=1,\qquad |\vec b|^2=\frac12,\qquad |\vec b-\vec a|^2=\frac12 $$

より、

$$ |\vec b-\vec a|^2=|\vec b|^2+|\vec a|^2-2\vec a\cdot \vec b $$

だから

$$ \frac12=\frac12+1-2\vec a\cdot \vec b $$

となる。よって

$$ \vec a\cdot \vec b=\frac12 $$

である。

したがって

$$ |k\vec a+l\vec b|^2 = k^2|\vec a|^2+2kl(\vec a\cdot \vec b)+l^2|\vec b|^2 = k^2+kl+\frac{l^2}{2} $$

を得る。

(1) $|k\vec a+l\vec b|^2$ が整数となる条件

上の式より

$$ |k\vec a+l\vec b|^2 = k^2+kl+\frac{l^2}{2} $$

であり、$k^2+kl$ は整数である。したがって、これが整数となるための必要十分条件は

$$ \frac{l^2}{2}\in \mathbb{Z} $$

であることに等しい。

ここで、$l$ が偶数なら $l^2$ も偶数であるから $\dfrac{l^2}{2}$ は整数である。逆に $l$ が奇数なら $l^2$ も奇数であるから $\dfrac{l^2}{2}$ は整数ではない。

よって、$|k\vec a+l\vec b|^2$ が整数であるための必要十分条件は

$$ l \text{ が偶数} $$

である。

(2) $|k\vec a+l\vec b|^2=0$ となる整数の組

[ |k\vec a+l\vec b|^2=0 ]

より

$$ k^2+kl+\frac{l^2}{2}=0 $$

である。両辺を $4$ 倍すると

$$ 4|k\vec a+l\vec b|^2 =4k^2+4kl+2l^2 =(2k+l)^2+l^2 $$

となるから、

$$ (2k+l)^2+l^2=0 $$

を得る。平方の和が $0$ であるから

$$ 2k+l=0,\qquad l=0 $$

であり、したがって $k=0$ である。

よって求める整数の組は

$$ (k,l)=(0,0) $$

のみである。

(3) $(k,l)\neq(0,0)$ のときの最小値を与える $(k,l)$

先ほどの式

$$ |k\vec a+l\vec b|^2=\frac{(2k+l)^2+l^2}{4} $$

を用いる。

$(k,l)\neq(0,0)$ のとき、(2) より $|k\vec a+l\vec b|^2>0$ である。

ここで $l$ の偶奇で分ける。

(i) $l$ が偶数のとき

$l\neq 0$ なら $l^2\ge 4$ であり、また $(2k+l)^2\ge 0$ だから

$$ |k\vec a+l\vec b|^2=\frac{(2k+l)^2+l^2}{4}\ge 1 $$

である。

一方、$l=0$ なら

$$ |k\vec a+l\vec b|^2=|k\vec a|^2=k^2 $$

であり、$(k,l)\neq(0,0)$ より $k\neq 0$ なので

$$ |k\vec a+l\vec b|^2\ge 1 $$

となる。

したがって、$l$ が偶数の場合の最小値は $1$ である。

(ii) $l$ が奇数のとき

このとき $2k+l$ も奇数である。したがって

$$ (2k+l)^2\ge 1,\qquad l^2\ge 1 $$

であるから

$$ |k\vec a+l\vec b|^2 =\frac{(2k+l)^2+l^2}{4} \ge \frac{1+1}{4} =\frac12 $$

となる。

しかも等号成立には

$$ (2k+l)^2=1,\qquad l^2=1 $$

が必要十分である。すなわち

$$ l=\pm 1,\qquad 2k+l=\pm 1 $$

である。

これを解くと、

• $l=1$ のとき $2k+1=\pm 1$ より $k=0,-1$
• $l=-1$ のとき $2k-1=\pm 1$ より $k=1,0$

となる。

したがって最小値は

$$ \frac12 $$

であり、それを与える $(k,l)$ は

$$ (0,1),\ (-1,1),\ (1,-1),\ (0,-1) $$

である。

解説

この問題の核心は、ベクトルの条件を内積に直し、以後を

$$ |k\vec a+l\vec b|^2=k^2+kl+\frac{l^2}{2} $$

という整数係数に近い式として扱うことである。

特に

$$ |k\vec a+l\vec b|^2=\frac{(2k+l)^2+l^2}{4} $$

と変形すると、非負性や最小値の議論が一気に明確になる。(2) では平方和が $0$ になる条件、(3) では偶奇による下界評価が決め手である。

答え

$$ \vec a\cdot \vec b=\frac12 $$

であり、

$$ |k\vec a+l\vec b|^2=k^2+kl+\frac{l^2}{2} =\frac{(2k+l)^2+l^2}{4} $$

である。

(1) $|k\vec a+l\vec b|^2$ が整数となるための必要十分条件は

$$ l \text{ が偶数} $$

である。

(2)

$$ |k\vec a+l\vec b|^2=0 $$

となる整数の組は

$$ (k,l)=(0,0) $$

のみである。

(3) $(k,l)\neq(0,0)$ のもとでの最小値は

$$ \frac12 $$

であり、それを与える整数の組は

$$ (k,l)=(0,1),\ (-1,1),\ (1,-1),\ (0,-1) $$

である。