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東京工業大学 1971年理系第6問解説

方針・初手

第 $n$ 回と第 $n+1$ 回の状態遷移に注目し、確率の漸化式（マルコフ連鎖）を立てる。第 $n$ 回に事象 $E$ が起こる場合と起こらない場合で排反に分けて考える。

解法1

(1)

第 $n+1$ 回に事象 $E$ が起こるのは、次の2つの場合であり、これらは互いに排反である。

(i) 第 $n$ 回に $E$ が起こり、第 $n+1$ 回にも $E$ が起こる場合

この確率は、$p_n \times \alpha$ である。

(ii) 第 $n$ 回に $E$ が起こらず、第 $n+1$ 回に $E$ が起こる場合

第 $n$ 回に $E$ が起こらない確率は $1 - p_n$ である。その次に $E$ が起こらない確率が $\beta$ であるから、$E$ が起こる確率は $1 - \beta$ である。したがって、この確率は $(1 - p_n)(1 - \beta)$ である。

以上より、第 $n+1$ 回に $E$ が起こる確率 $p_{n+1}$ は、

$$ p_{n+1} = \alpha p_n + (1 - \beta)(1 - p_n) $$

$$ p_{n+1} = (\alpha + \beta - 1)p_n + 1 - \beta $$

(2)

(1) で求めた漸化式を変形するために、方程式 $c = (\alpha + \beta - 1)c + 1 - \beta$ を解く。

$$ (2 - \alpha - \beta)c = 1 - \beta $$

条件より $0 < \alpha < 1$ かつ $0 < \beta < 1$ であるから、$0 < \alpha + \beta < 2$ となり、$2 - \alpha - \beta \neq 0$ である。よって、

$$ c = \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} $$

これを用いると、漸化式は次のように変形できる。

$$ p_{n+1} - \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} = (\alpha + \beta - 1) \left( p_n - \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} \right) $$

したがって、数列 $\left\{ p_n - \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} \right\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta}$、公比 $\alpha + \beta - 1$ の等比数列である。一般項は次のように表される。

$$ p_n - \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} = \left( p_1 - \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} \right) (\alpha + \beta - 1)^{n-1} $$

$$ p_n = \left( p_1 - \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} \right) (\alpha + \beta - 1)^{n-1} + \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} $$

ここで、公比 $\alpha + \beta - 1$ について考える。$0 < \alpha < 1$ かつ $0 < \beta < 1$ であるから、

$$ 0 < \alpha + \beta < 2 $$

各辺から $1$ を引いて、

$$ -1 < \alpha + \beta - 1 < 1 $$

したがって、$n \to \infty$ のとき $(\alpha + \beta - 1)^{n-1} \to 0$ となる。よって、求める極限値は、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1 - \beta}{2 - \alpha - \beta} $$

解説

状態遷移と確率の漸化式（マルコフ連鎖）に関する典型問題である。「第 $n$ 回の結果」のみによって「第 $n+1$ 回の結果」の確率が定まるため、第 $n$ 回の状態（事象 $E$ が起こる・起こらない）で場合分けをして足し合わせるという、基本に忠実な立式が求められる。極限を求める際、公比 $\alpha + \beta - 1$ の絶対値が $1$ より小さいことを、与えられた条件 $0 < \alpha < 1, 0 < \beta < 1$ からきちんと示すことが論理的な飛躍を防ぐポイントである。