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東京工業大学 1971年理系第5問解説

方針・初手

(1) は微分を用いて関数の増減を調べ、不等式を証明する典型的な問題である。
(2) は積の極限を求める問題だが、(1) の不等式 $1 - x < e^{-x}$ を利用して上からの評価を行うことが鍵となる。
(2) の各因数の分数部分は有理化によって階差の形に変形でき、和をとると打ち消し合う形（望遠鏡和）になることに着目する。

解法1

(1)

$f(x) = e^{-x} - (1 - x)$ とおく。

$x > 0$ における $f(x)$ の増減を調べる。$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = -e^{-x} + 1 $$

$x > 0$ のとき、$-x < 0$ であるから $e^{-x} < e^0 = 1$ が成り立つ。よって、$f'(x) > 0$ となる。

したがって、$f(x)$ は $x \ge 0$ において単調に増加する。

$x = 0$ のとき、$f(0) = e^0 - (1 - 0) = 1 - 1 = 0$ であるから、$x > 0$ において、

$$ f(x) > f(0) = 0 $$

すなわち、$e^{-x} - (1 - x) > 0$ となり、$x > 0$ のとき $e^{-x} > 1 - x$ が成り立つことが証明された。

(2)

求める極限の式の $n$ 番目の項までの積（ただし、因数は $n-1$ 個）を $P_n$ とおく。

$$ P_n = \prod_{k=1}^{n-1} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \right) $$

各因数の分母を有理化すると、

$$ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k} $$

となる。ここで、$x_k = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ とおくと、$k \ge 1$ において $x_k > 0$ であるから、(1) の結果より

$$ 1 - x_k < e^{-x_k} $$

が成り立つ。また、

$$ x_k = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \le \frac{1}{\sqrt{2} + 1} < 1 $$

であるから、$1 - x_k > 0$ である。したがって、

$$ 0 < 1 - x_k < e^{-x_k} $$

が成り立つ。この不等式を $k = 1, 2, \dots, n-1$ について辺々掛け合わせると、

$$ 0 < \prod_{k=1}^{n-1} (1 - x_k) < \prod_{k=1}^{n-1} e^{-x_k} $$

すなわち、

$$ 0 < P_n < e^{-\sum_{k=1}^{n-1} x_k} $$

となる。ここで、指数部分の和を計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1} x_k &= \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \\ &= (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) \\ &= \sqrt{n} - 1 \end{aligned} $$

となるため、

$$ 0 < P_n < e^{-(\sqrt{n} - 1)} = e^{1-\sqrt{n}} $$

が成り立つ。

$n \to \infty$ のとき、$1 - \sqrt{n} \to -\infty$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} e^{1-\sqrt{n}} = 0 $$

となる。したがって、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} P_n = 0 $$

となる。

解説

(1)の不等式 $1 - x < e^{-x}$ は、関数 $y = e^{-x}$ の $x=0$ における接線が $y = 1-x$ であること、および $y = e^{-x}$ が下に凸であることから図形的にも直感的に理解できる。
無限積の極限を求める問題では、対数をとって無限級数に帰着させる手法や、本問のように不等式を利用してはさみうちの原理に持ち込む手法が頻出である。
本問では、積の形を維持したまま (1) の不等式を用いることで、右辺が指数関数の性質 $e^A e^B = e^{A+B}$ により和の形に変換され、容易に計算できるようになっている。誘導の意図を正確に読み取ることが重要である。
各項が正であることを確認する（$1 - x_k > 0$）のを忘れないように注意が必要である。これが抜けると不等式の積をとる操作や、はさみうちの原理の左側の評価が不完全になる。