東京工業大学 1978年 理系 第4問 解説

方針・初手

2次方程式の解と係数の関係を用いて、$a_n$ と $a_{n+1}$ の和および積の関係式を導く。和の関係式において $n$ を $n+1$ に置き換えて辺々を引くことで、一つ飛ばしの項の差（$a_{n+2} - a_n$）を求め、数列 $\{a_n\}$ の奇数番目と偶数番目がそれぞれ等差数列になることを利用して一般項を求める。

解法1

$a_n, a_{n+1}$ は2次方程式 $x^2 + 3nx + C_n = 0$ の2つの解であるから、解と係数の関係より以下の関係式が成り立つ。

$$ \begin{cases} a_n + a_{n+1} = -3n \\ a_n a_{n+1} = C_n \end{cases} $$

第1式において、$n$ を $n+1$ に置き換えると次の式が得られる。

$$ a_{n+1} + a_{n+2} = -3(n+1) $$

この式から元の第1式を辺々引くと、次のように定数となる。

$$ a_{n+2} - a_n = -3 $$

これより、数列 $\{a_n\}$ の奇数番目の項と偶数番目の項は、それぞれ公差 $-3$ の等差数列となる。 $a_1 = 1$ であり、また第1式で $n=1$ とすると $a_1 + a_2 = -3$ より、

$$ a_2 = -3 - 1 = -4 $$

となる。したがって、自然数 $k$ に対して奇数項と偶数項はそれぞれ次のように表せる。

奇数番目の項：

$$ a_{2k-1} = 1 + (k-1)(-3) = -3k + 4 $$

偶数番目の項：

$$ a_{2k} = -4 + (k-1)(-3) = -3k - 1 $$

求める和は $\sum_{n=1}^{2p} C_n = \sum_{n=1}^{2p} a_n a_{n+1}$ であるから、これを奇数番目と偶数番目の積のペアに分けて計算する。

$$ \sum_{n=1}^{2p} C_n = \sum_{k=1}^{p} (a_{2k-1} a_{2k} + a_{2k} a_{2k+1}) $$

$$ = \sum_{k=1}^{p} a_{2k} (a_{2k-1} + a_{2k+1}) $$

ここで、$a_{2k-1} + a_{2k+1}$ を計算すると、

$$ a_{2k-1} + a_{2k+1} = (-3k + 4) + \{ -3(k+1) + 4 \} = -6k + 5 $$

となる。したがって、シグマの中身は次のように計算できる。

$$ a_{2k} (a_{2k-1} + a_{2k+1}) = (-3k - 1)(-6k + 5) = 18k^2 - 9k - 5 $$

これをシグマ計算に代入して和を求める。

$$ \sum_{n=1}^{2p} C_n = \sum_{k=1}^{p} (18k^2 - 9k - 5) $$

$$ = 18 \cdot \frac{1}{6} p(p+1)(2p+1) - 9 \cdot \frac{1}{2} p(p+1) - 5p $$

$$ = \frac{1}{2} p \{ 6(p+1)(2p+1) - 9(p+1) - 10 \} $$

$$ = \frac{1}{2} p \{ 6(2p^2 + 3p + 1) - 9p - 19 \} $$

$$ = \frac{1}{2} p (12p^2 + 18p + 6 - 9p - 19) $$

$$ = \frac{1}{2} p (12p^2 + 9p - 13) $$

解説

$a_{n+1} + a_n = f(n)$ のような漸化式が与えられた場合、$n$ を1つ進めて辺々引くことで $a_{n+2} - a_n$ の形を作り、奇数項・偶数項ごとの数列に帰着させるのが定石の手法である。また、最後に和を求める際、展開してから計算するのではなく、$a_{2k-1} a_{2k} + a_{2k} a_{2k+1}$ を共通因数 $a_{2k}$ でくくってから計算することで、煩雑な展開を減らしミスを防ぐことができる。

答え

$$ \frac{1}{2} p (12p^2 + 9p - 13) $$