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東京工業大学 1965年理系第2問解説

方針・初手

方程式の解を代入して得られる恒等式を利用し、$t_n$ に関する漸化式（ニュートンの恒等式）を導出する。その後、解と係数の関係を用いて $t_0, t_1, t_2$ の値を求め、漸化式から順次 $t_4, t_5$ を計算していく。

解法1

$\alpha, \beta, \gamma$ は 3次方程式 $x^3+ax+b=0$ の解であるから、以下の関係式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha^3 + a\alpha + b = 0 \\ \beta^3 + a\beta + b = 0 \\ \gamma^3 + a\gamma + b = 0 \end{cases} $$

これらそれぞれの両辺に $\alpha^n, \beta^n, \gamma^n$ （$n$ は0以上の整数）を掛けると、次の式を得る。

$$ \begin{cases} \alpha^{n+3} + a\alpha^{n+1} + b\alpha^n = 0 \\ \beta^{n+3} + a\beta^{n+1} + b\beta^n = 0 \\ \gamma^{n+3} + a\gamma^{n+1} + b\gamma^n = 0 \end{cases} $$

辺々足し合わせると、$t_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$ であることから、任意の0以上の整数 $n$ に対して次のような $t_n$ に関する漸化式が成り立つ。

$$ t_{n+3} + at_{n+1} + bt_n = 0 $$

一方、3次方程式の解と係数の関係より、以下の基本対称式の値が定まる。

$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 0 \\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a \\ \alpha\beta\gamma = -b \end{cases} $$

ここから、初期の $t_n$ を求める。$t_0$ は $n=0$ とした場合の定数項の和であるため $3$ となる。

$$ t_0 = \alpha^0 + \beta^0 + \gamma^0 = 1 + 1 + 1 = 3 $$

$$ t_1 = \alpha + \beta + \gamma = 0 $$

$$ \begin{aligned} t_2 &= \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \\ &= (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) \\ &= 0^2 - 2a \\ &= -2a \end{aligned} $$

先ほど導いた漸化式 $t_{n+3} = -at_{n+1} - bt_n$ を用い、順次 $t_3, t_4, t_5$ を計算する。

$n=0$ のとき

$$ t_3 = -at_1 - bt_0 = -a \cdot 0 - b \cdot 3 = -3b $$

$n=1$ のとき

$$ t_4 = -at_2 - bt_1 = -a(-2a) - b \cdot 0 = 2a^2 $$

$n=2$ のとき

$$ t_5 = -at_3 - bt_2 = -a(-3b) - b(-2a) = 5ab $$

最後に、求めたい式 $at_5 + bt_4$ に計算結果を代入する。

$$ \begin{aligned} at_5 + bt_4 &= a(5ab) + b(2a^2) \\ &= 5a^2b + 2a^2b \\ &= 7a^2b \end{aligned} $$

解説

累乗の和 $t_n$ に関する問題では、方程式そのものを利用して $t_n$ の漸化式を作る手法が極めて有効である。多項式展開や対称式の基本定理を用いて $t_4, t_5$ を直接計算することも可能だが、次数が上がるにつれて計算量が膨大になる。漸化式を利用して次数を順次下げていくアプローチが、もっとも計算ミスが少なく簡潔な解法となる。