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名古屋大学 1979年理系第2問解説

方針・初手

与えられた漸化式 $x_{n+1} = 2x_n + \frac{1}{2^n}$ の両辺を $2^{n+1}$ で割ることで、数列 $\{x_n\}$ の一般項を求める。求めた一般項の形から、不等式を満たすような定数 $a$ の値を推測し、不等式が成立することを証明する。

解法1

与えられた漸化式

$$x_{n+1} = 2x_n + \frac{1}{2^n}$$

の両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$$\frac{x_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{x_n}{2^n} + \frac{1}{2^{2n+1}}$$

となる。

ここで、$y_n = \frac{x_n}{2^n}$ とおくと、

$$y_{n+1} = y_n + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^n$$

となる。これは数列 $\{y_n\}$ の階差数列が $\frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^n$ であることを示している。

$n \geqq 2$ のとき、$y_n$ は次のように求められる。

$$y_n = y_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^k$$

等比数列の和の公式を用いて計算すると、

$$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{4} \left\{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}}{1 - \frac{1}{4}}$$

$$= \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} \left\{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}$$

$$= \frac{1}{6} \left\{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}$$

となる。

したがって、$y_1 = \frac{x_1}{2}$ であるから、

$$y_n = \frac{x_1}{2} + \frac{1}{6} \left\{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}$$

となる。

この式において $n=1$ とすると、

$$y_1 = \frac{x_1}{2} + \frac{1}{6} (1 - 1) = \frac{x_1}{2}$$

となり、$n=1$ のときも成り立つ。

$y_n = \frac{x_n}{2^n}$ を代入して $x_n$ について整理すると、

$$\frac{x_n}{2^n} = \frac{x_1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$

$$\frac{x_n}{2^n} = \left(\frac{x_1}{2} + \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{6 \cdot 4^{n-1}}$$

両辺に $2^n$ を掛けると、

$$x_n = 2^n \left(\frac{x_1}{2} + \frac{1}{6}\right) - 2^n \cdot \frac{1}{6 \cdot 2^{2n-2}}$$

$$x_n = 2^n \left(\frac{x_1}{2} + \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{6 \cdot 2^{n-2}}$$

$$x_n = 2^n \left(\frac{3x_1 + 1}{6}\right) - \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}$$

となる。

ここで、定数 $a$ を

$$a = \frac{3x_1 + 1}{6}$$

と定めると、

$$x_n - 2^n a = - \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}$$

となる。

この絶対値をとると、

$$|x_n - 2^n a| = \left|- \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}\right| = \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}$$

となる。

すべての $n=1, 2, \cdots$ に対して $2^{n-1} \geqq 1$ であり、その逆数をとると $\frac{1}{2^{n-1}} \leqq 1$ であるから、

$$\frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}} \leqq \frac{1}{3}$$

が成り立つ。

したがって、$a = \frac{3x_1 + 1}{6}$ と定めれば、すべての $n=1, 2, \cdots$ に対して不等式

$$|x_n - 2^n a| \leqq \frac{1}{3}$$

が成り立つことが示された。

解説

$x_{n+1} = p x_n + q^n$ 型の漸化式の典型的な解法を用いる問題である。両辺を $p^{n+1}$（この場合は $2^{n+1}$）で割ることで、階差数列の形に持ち込むことができる。一般項を正確に求めれば、$2^n$ の係数が求めるべき定数 $a$ であることは自然に推測できる。後半の不等式の評価も、指数関数の基本的な性質を用いれば容易である。