東京工業大学 1992年 理系 第5問 解説

方針・初手

• （1） は $I_n - I_{n-1}$ を具体的に立式し、三角関数の和積の公式を用いて被積分関数を簡略化する。
• $\cos(2n-1)x + \cos(2n-3)x$ の形が現れることに着目する。
• 簡略化された積分は $x$ と三角関数の積になるため、部分積分を用いて計算を進める。
• （2） は （1） で求めた漸化式を用いて、$I_1$ から順に $I_2$、$I_3$ と値を求めていく。

解法1

(1) $I_n$ の定義より、

$$ I_n = (-1)^n \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \cos(2n - 1)x}{\cos x} dx $$

であるから、$n \geqq 2$ に対して、

$$ I_n - I_{n-1} = (-1)^n \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \cos(2n - 1)x}{\cos x} dx - (-1)^{n-1} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \cos(2n - 3)x}{\cos x} dx $$

$$ I_n - I_{n-1} = (-1)^n \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos x} \{ \cos(2n - 1)x + \cos(2n - 3)x \} dx $$

となる。ここで、三角関数の和積の公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用いると、

$$ \cos(2n - 1)x + \cos(2n - 3)x = 2 \cos(2n - 2)x \cos x $$

となる。これを代入して整理すると、

$$ I_n - I_{n-1} = (-1)^n \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos x} \cdot 2 \cos(2n - 2)x \cos x dx $$

$$ I_n - I_{n-1} = 2(-1)^n \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos(2n - 2)x dx $$

を得る。

$n \geqq 2$ より $2n - 2 \neq 0$ であるから、部分積分を用いてこの定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos(2n - 2)x dx = \left[ x \frac{\sin(2n - 2)x}{2n - 2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(2n - 2)x}{2n - 2} dx $$

$$ = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sin \frac{(n-1)\pi}{2}}{2(n-1)} - \left[ - \frac{\cos(2n - 2)x}{(2n - 2)^2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} $$

$$ = \frac{\pi \sin \frac{(n-1)\pi}{2}}{8(n-1)} + \frac{\cos \frac{(n-1)\pi}{2} - 1}{4(n-1)^2} $$

したがって、求める式は、

$$ I_n - I_{n-1} = (-1)^n \left\{ \frac{\pi \sin \frac{(n-1)\pi}{2}}{4(n-1)} + \frac{\cos \frac{(n-1)\pi}{2} - 1}{2(n-1)^2} \right\} $$

となる。

(2) まず、$n=1$ のときの $I_1$ を求める。

$$ I_1 = (-1)^1 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \cos x}{\cos x} dx $$

$$ = - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x dx = - \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = - \frac{\pi^2}{32} $$

次に、（1） で求めた漸化式に $n=2$ を代入する。

$$ I_2 - I_1 = (-1)^2 \left\{ \frac{\pi \sin \frac{\pi}{2}}{4 \cdot 1} + \frac{\cos \frac{\pi}{2} - 1}{2 \cdot 1^2} \right\} $$

$$ I_2 - I_1 = 1 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{0 - 1}{2} \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} $$

よって、

$$ I_2 = I_1 + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{\pi^2}{32} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} $$

さらに、（1） で求めた漸化式に $n=3$ を代入する。

$$ I_3 - I_2 = (-1)^3 \left\{ \frac{\pi \sin \pi}{4 \cdot 2} + \frac{\cos \pi - 1}{2 \cdot 2^2} \right\} $$

$$ I_3 - I_2 = -1 \cdot \left( 0 + \frac{-1 - 1}{8} \right) = \frac{1}{4} $$

よって、

$$ I_3 = I_2 + \frac{1}{4} = \left( - \frac{\pi^2}{32} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{4} = - \frac{\pi^2}{32} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} $$

解説

• 積分漸化式の典型問題である。分子の三角関数を操作して、分母の $\cos x$ を約分で消去できるかどうかが鍵となる。
• （1） において、差 $I_n - I_{n-1}$ を作ると係数の符号が交代することから、括弧内が和の形 $\cos A + \cos B$ となる。和積の公式を利用して積の形に直すことで、$\cos x$ を約分できる。
• $\int x \cos kx dx$ の形に帰着された後は、部分積分を用いて計算を完遂する。
• （2） では、階差数列の和の要領で求めていくのが確実である。計算ミスを防ぐために、$I_1$, $I_2$, $I_3$ と順番に値を求めていくとよい。

答え

(1)

$$ I_n - I_{n-1} = (-1)^n \left\{ \frac{\pi \sin \frac{(n-1)\pi}{2}}{4(n-1)} + \frac{\cos \frac{(n-1)\pi}{2} - 1}{2(n-1)^2} \right\} $$

(2)

$$ I_3 = - \frac{\pi^2}{32} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} $$